A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sullo studio di funzione.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#frazione #log

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$y = \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4}$

Soluzione

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

trovare le condizioni di esistenza (C.E.)

vedere se la funzione è simmetrica

stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero

limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)

studio della derivata prima per trovare massimi e minimi

studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

Step 1

Le condizioni di esistenza che dobbiamo porre in questo caso riguardano l’esistenza della frazione e l’esistenza del logaritmo. Sappiamo che una frazione esiste solo se il denominatore è diverso da zero, quindi la prima C.E. è

$x^2-4 \neq 0$

Per l’esistenza del logaritmo invece devo imporre che l’argomento del logaritmo sia positivo, ossia

$x^2-1 > 0$

Le mie C.E. sono quindi

$\begin{cases} x^2-4 \neq 0 \\ x^2-1 > 0 \end{cases}$

La prima condizione si risolve come

$\begin{align*} x^2-4 & \neq 0 \\ x^2 & \neq 4 \\ x & \neq \pm 2 \end{align*}$

mentre la seconda

$\begin{align*} x^2-1 & > 0 \\ x^2 & > 1 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ & \downarrow \\ \text{avevo} > & \Rightarrow \text{intervalli esterni} \\ x < -1 & \cup x > 1 \end{align*}$

Il sistema diventa quindi

$\begin{cases} x \neq \pm 2 \\ x<-1 \cup x > 1 \end{cases}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-3,2) rectangle (-2,0); \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-2,2) rectangle (-1,0); \shade[left color=yellow, right color = yellow] (3,2) rectangle (2,0); \shade[left color=yellow, right color = yellow] (2,2) rectangle (1,0); \draw (-3,0) -- (3,0); \draw (-2,-0.2) -- (-2,2); \draw (2,-0.2) -- (2,2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,2); \draw (1,-0.2) -- (1,2); \node at (-5,0.5) {$x<-1 \cup x > 1$}; \node at (-5,1.5) {$x \neq \pm 2$}; \draw (-3,1.5) -- (3,1.5); \draw[fill = white] (-2,1.5) circle (0.1cm); \draw[fill = white] (2,1.5) circle (0.1cm); \draw (-3,0.5) -- (-1,0.5); \draw (1,0.5) -- (3,0.5); \draw[fill = white] (-1,0.5) circle (0.1cm); \draw[fill = white] (1,0.5) circle (0.1cm); \node at (-2,-0.5) {$-2$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (1,-0.5) {$1$}; \end{tikzpicture}$

Noto che la soluzione (la parte gialla) è di conseguenza il dominio della funzione. Abbiamo quindi trovato che la funzione non esiste fra -1 e 1. Disegniamolo subito: in griglio le sezione dove la funzione non esiste, ossia dove non ci sarà disegnato nulla. Tratteggio invece le $x$ non incluse nel dominio.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, %xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] %\addplot[red,domain=-6:6,semithick]{exp(x)}; %\addplot[black]{x+1}; \fill[grey!10] (axis cs:-1,-6) -- (axis cs:1,-6) -- (axis cs:1,6) -- (axis cs:-1,6) -- cycle; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-6) (-1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-6) (1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,-6) (-2,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; %\addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-2,0) (2,0)}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\addplot[red] coordinates {(-1,0.6)} node{$y=e^x$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione $f$ è pari se

$f(-x) = f(x)$

mentre è dispari se

$f(-x) = -f(x)$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso $f(-x)$ :

$\begin{align*} f(-x) & = \frac{\ln((-x)^2-1)}{(-x)^2-4} \\ & = \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} \\ & = f(x) \end{align*}$

La funzione è quindi pari: questo significa che il grafico sarà simmetrico rispetto all’asse $y$ .

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando $y = f(x) = \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} \geq 0$ . Otteniamo una disequazione fratta e dobbiamo quindi studiare separatamente numeratore e denominatore.

Numeratore $\geq 0$ :

$\ln(x^2-1) \geq 0 \Rightarrow x^2-1 \geq 1$

Ricordiamo infatti che un logaritmo è positivo, ossia maggiore di zero, quando il suo argomento è maggiore di uno.

$\begin{align*} x^2-1 & \geq 1 \\ x^2 & \geq 2 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x^2 & = 2 \\ x & = \pm \sqrt{2} \\ & \downarrow \\ \text{avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni} \\ x \leq -\sqrt{2} & \cup x \geq \sqrt{2} \end{align*}$

Denominatore $> 0$ :

$\begin{align*} x^2-4 & > 0 \\ x^2 & > 4 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \\ & \downarrow \\ \text{avevo} > & \Rightarrow \text{intervalli esterni} \\ x < -2 & \cup x > 2 \end{align*}$

Segno frazione:

$\begin{tikzpicture} \draw (-3,0) -- (3,0); \draw (-2,3) -- (-2,-0.2); \draw (-1,3) -- (-1,-0.2); \draw (1,3) -- (1,-0.2); \draw (2,3) -- (2,-0.2); \node at (-2,-0.5) {$-2$}; \node at (-1,-0.5) {$-\sqrt{2}$}; \node at (1,-0.5) {$\sqrt{2}$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \draw (-3,2) -- (3,2); \draw (-3,1) -- (3,1); %Numeratore \node at (-4.3,2.5) {\scriptsize Numeratore:}; \node at (-2.5,2.5) {$+$}; \node at (-1.5,2.5) {$+$}; \node at (0,2.5) {$-$}; \node at (1.5,2.5) {$+$}; \node at (2.5,2.5) {$+$}; \draw [fill = black](-1,2.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](1,2.5) circle (0.07cm); %Denominatore \node at (-4.3,1.5) {\scriptsize Denominatore:}; \node at (-2.5,1.5) {$+$}; \node at (-1.5,1.5) {$-$}; \node at (0,1.5) {$-$}; \node at (1.5,1.5) {$-$}; \node at (2.5,1.5) {$+$}; \draw(-2,1.5) circle (0.07cm); \draw(2,1.5) circle (0.07cm); %Frazione \node at (-4.3,0.5) {\scriptsize Frazione:}; \node at (-2.5,0.5) {$+$}; \node at (-1.5,0.5) {$-$}; \node at (0,0.5) {$+$}; \node at (1.5,0.5) {$-$}; \node at (2.5,0.5) {$+$}; \draw (-2,0.5) circle (0.07cm); \draw (2,0.5) circle (0.07cm); \draw[fill = black](-1,0.5) circle (0.07cm); \draw[fill = black](1,0.5) circle (0.07cm); \end{tikzpicture}$

Abbiamo quindi che la nostra funzione è positiva negli intervalli $x < -2 \cup -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2} \cup x > 2$ . Abbiamo inoltre trovato anche le intersezioni con l’asse $x$ : sono infatti quei punti in cui la frazione si annulla, ossia $x = \pm \sqrt{2}$ . Aggiorniamo il nostro grafico con queste nuove informazioni. Indico sempre con il grigio le zone in cui la funzione "non c’è"; i pallini rossi sull’asse delle $x$ indicano le intersezioni (i punti in cui la funzione è zero), ossia i punti $x = \pm \sqrt{2}$ nel nostro caso.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] %\addplot[red,domain=-6:6,semithick]{exp(x)}; %\addplot[black]{x+1}; \fill[grey!10] (axis cs:-1,-6) -- (axis cs:1,-6) -- (axis cs:1,6) -- (axis cs:-1,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-10,-6) -- (axis cs:-2,-6) -- (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-10,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-1.414313,0) -- (axis cs:-1.414313,6) -- (axis cs:-2,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-1.414313,-6) -- (axis cs:-1,-6) -- (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1.414313,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:2,0) -- (axis cs:1.414313,0) -- (axis cs:1.414313,6) -- (axis cs:2,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:1.414313,-6) -- (axis cs:1,-6) -- (axis cs:1,0) -- (axis cs:1.414313,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:10,-6) -- (axis cs:2,-6) -- (axis cs:2,0) -- (axis cs:10,0) -- cycle; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-6) (-1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-6) (1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,-6) (-2,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-1.414213,0) (1.414213,0)}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\addplot[red] coordinates {(-1,0.6)} node{$y=e^x$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} = "\frac{\infty}{\infty}"$

Per risolvere la forma indeterminata possiamo procedere in due modi. Il primo è quello di ragionare sugli asintotici. Infatti il numeratore a più infinito si comporta come $\ln(x^2)$ mentre il denominatore come $x^2$ . Quindi

$\frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} \sim \frac{\ln(x^2)}{x^2} \longrightarrow 0$

poichè sappiamo che il logaritmo tende a infinito più lentamente di $x$ . Ricordiamo infatti che per $\mathbf{x \rightarrow + \infty}$ l’ordine di infiniti è

$\log_a(x) << x^b << c^x << x^x$

con $a>0,a\neq 1, b>0, c >1$ .

La seconda alternativa è quella di applicare il teorema di De l’Hopital e ottenere

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{1}{x^2-1} \cdot 2x}{2x} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2-1} \\ & = "\frac{1}{+\infty}" \\ & = 0 \end{align*}$

Attenzione a usare questo metodo: si usa solo se ho forme indeterminate $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$ e SE so fare bene le derivate.

Abbiamo quindi ottenuto che la funzione va a zero per $x\rightarrow + \infty$ . Poichè abbiamo stabilito che la funzione è pari, ossia simmetrica rispetto l’asse $y$ ho che anche il limite per $x \rightarrow -\infty$ è zero. Passiamo ora ai limiti degli asintoti verticali.

$\lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} = "\frac{\ln(3^+)}{0^+}" = +\infty$

poichè sia a numeratore che a denominatore ho numeri positivi.

$\lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} = "\frac{\ln(3^-)}{0^-}" = -\infty$

poichè a numeratore ho un numero positivo mentre a denominatore ho un numero negativo.

$\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4} = "\frac{\ln(0^+)}{-3^+}" = +\infty$

poichè sia numeratore che denominatore sono negativi.

Come già detto, poichè la funzione è pari abbiamo in automatico anche i limiti a -2 e -1. Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-1,-6) -- (axis cs:1,-6) -- (axis cs:1,6) -- (axis cs:-1,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-10,-6) -- (axis cs:-2,-6) -- (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-10,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-1.414313,0) -- (axis cs:-1.414313,6) -- (axis cs:-2,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-1.414313,-6) -- (axis cs:-1,-6) -- (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1.414313,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:2,0) -- (axis cs:1.414313,0) -- (axis cs:1.414313,6) -- (axis cs:2,6) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:1.414313,-6) -- (axis cs:1,-6) -- (axis cs:1,0) -- (axis cs:1.414313,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:10,-6) -- (axis cs:2,-6) -- (axis cs:2,0) -- (axis cs:10,0) -- cycle; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-6) (-1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-6) (1,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,-6) (-2,6) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-1.414213,0) (1.414213,0)}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[red,domain=-6:-5,semithick]{ln(x^2-1)/(x^2-4)}; \addplot[red,domain=-2.07:-2,semithick]{ln(x^2-1)/(x^2-4)}; \addplot[red,domain=2:2.07,semithick]{ln(x^2-1)/(x^2-4)}; \addplot[red,domain=5:6,semithick]{ln(x^2-1)/(x^2-4)}; \addplot[red] coordinates { (-1.1,5) (-1.1,6) }; \addplot[red] coordinates { (-1.9,-5) (-1.9,-6) }; \addplot[red] coordinates { (1.1,5) (1.1,6) }; \addplot[red] coordinates { (1.9,-5) (1.9,-6) }; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: è una frazione, quindi applichiamo la formula della derivata di $\frac{f(x)}{g(x)}$ : indico con $D$ o $'$ il simbolo di derivata.

$\begin{align*} y^{'} & = \frac{D(\ln(x^2-1))\cdot (x^2-4) - \ln(x^2-1) \cdot D(x^2-4)}{(x^2-4)^2} \\ & = \frac{\frac{1}{x^2-1}\cdot 2x(x^2-4)-\ln(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-4)^2} \\ & = \frac{2x \cdot \left( \frac{x^2-4}{x^2-1} - \ln(x^2-1)\right)}{(x^2-4)^2} \end{align*}$

Dovrei ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando $y^{'} \geq 0$ . Dal momento che il denominatore è sempre positivo (è un quadrato, quindi è sempre positivo), chiedersi quando $y^{'} \geq 0$ equivale a chiedersi quando il numeratore è maggiore o uguale a zero. Studio quindi

$2x \cdot \left( \frac{x^2-4}{x^2-1} - \ln(x^2-1)\right) \geq 0$

Visto che ho un prodotto, studio singolarmente i due fattori.

Fattore 1: $2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$

Fattore 2: $\frac{x^2-4}{x^2-1} - \ln(x^2-1) \geq 0$

Questo secondo fattore è un po’ più complicato: bisognerebbe fare uno studio di funzione separatamente per le due funzioni, uno per $\frac{x^2-4}{x^2-1}$ e uno per $\ln(x^2-1)$ . Per questo motivo nella descrizione dell’esercizio ho messo "incompleto": l’esercizio è volutamente difficile (tradotto: molto difficilmente in verifica potrebbe capitare da studiare una derivata così) e serve per far vedere i passaggi chiavi di uno studio di funzioni e offrire spunti vista la presenza di frazioni e logaritmi. Per questo non scrivo gli studi singoli delle due funzioni, ma se vi volete cimentare, visto che non sono difficili da studiare singolarmente, vi metto qui i grafici finali.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-8:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[red,domain=-6:6,semithick]{(x^2-4)/(x^2-1)}; \addplot[black, dashed,domain=-6:6,semithick]{1}; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-8) (-1,8) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-8) (1,8) }; \addplot[] coordinates {(1.2,-0.5)} node{$1$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{$-1$}; \addplot[] coordinates {(-0.3,1)} node{$1$}; \addplot[red] coordinates {(-4,4)} node{$\frac{x^2-4}{x^2-1}$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=1500, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-4, ymax=4, restrict y to domain=-8:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[red,domain=-5:5,semithick]{ln(x^2-1)}; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-8) (-1,8) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-8) (1,8) }; \addplot[] coordinates {(1.2,-0.5)} node{$1$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{$-1$}; \addplot[red] coordinates {(-4,4)} node{$\ln(x^2-1)$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=1500, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-8, xmax=8, ymin=-6, ymax=3, restrict y to domain=-8:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[red,domain=-7:7,semithick]{(x^2-4)/(x^2-1) -ln(x^2-1)}; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-8) (-1,8) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-8) (1,8) }; \addplot[] coordinates {(1.2,-0.5)} node{$1$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{$-1$}; \addplot[red] coordinates {(-4.5,2)} node{$\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Come si può vedere in quest’ultimo grafico, se definisco $g(x):= \frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)$ , allora ho che $g(x)$ è sempre negativa: infatti sta sempre sotto l’asse delle $x$ , ossia assume sempre valori ( $y$ ) negativi. Questo significa che il Fattore 2 della mia derivata prima è sempre negativo. Il castello dei segni diventa quindi

$\begin{tikzpicture} \draw (-2,0) -- (2,0); \draw (0,3) -- (0,-0.2); \node at (0,-0.5) {$0$}; \draw (-2,2) -- (2,2); \draw (-2,1) -- (2,1); %Numeratore \node at (-3.3,2.5) {\scriptsize Fattore 1:}; \node at (-1,2.5) {$-$}; \node at (1,2.5) {$+$}; \draw [fill = black](0,2.5) circle (0.07cm); %Denominatore \node at (-3.3,1.5) {\scriptsize Fattore 2:}; \node at (-1,1.5) {$-$}; \node at (1,1.5) {$-$}; %Frazione \node at (-3.3,0.5) {\scriptsize Prodotto:}; \node at (-1,0.5) {$+$}; \node at (1,0.5) {$-$}; \draw [fill = black](0,0.5) circle (0.07cm); \draw[->] (-1.8,-1) -- (-0.3,-0.5); \draw[<-] (1.8,-1) -- (0.3,-0.5); \end{tikzpicture}$

La funzione è quindi crescente nell’intervallo $(-\infty,0)$ mentre è descrescente in $(0,+\infty)$ . Sembrerebbe che $0$ sia un punto di massimo, ma zero è escluso dal dominio della funzione: essa quindi non ha nè massimi nè minimi.

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$\begin{align*} y^{''} & = \frac{D\left( 2x\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right) \right)(x^2-4)^2 - \left(2x\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right)\right)D((x^2-4)^2)}{(x^2-4)^4} \\ & = \frac{D\left( 2x\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right) \right)(x^2-4)^2}{(x^2-4)^4} - \frac{\left(2x\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right)\right)D((x^2-4)^2)}{(x^2-4)^4} \\ & = \frac{\left( 2\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right)+2x\left(\frac{2x(x^2-1)-(x^2-4)2x}{(x^2-1)^2}- \frac{2x}{x^2-1}\right) \right)(x^2-4)^2}{(x^2-4)^4} + \\ & - \frac{\left(2x\left(\frac{x^2-4}{x^2-1}-\ln(x^2-1)\right)\right)2(x^2-4)2x}{(x^2-4)^4} \end{align*}$

Sistemare questa derivata seconda è fattibile, ma da pazzi, come già ci si poteva aspettare dalla derivata prima. Ci fermiamo quindi qui con lo studio, collegando tutti i pezzi di grafico già disegnati finora e ottenendo il grafico della funzione.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=2000, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-2, ymax=2, restrict y to domain=-8:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[red,domain=-5.5:5.5,semithick]{ln(x^2-1.2)/(x^2-4)}; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,-2) (-1,2) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,-2) (-2,2) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (1,-2) (1,2) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-2) (2,2) }; \addplot[] coordinates {(1.2,-0.3)} node{$1$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.3)} node{$-1$}; \addplot[] coordinates {(2.2,-0.3)} node{$2$}; \addplot[] coordinates {(-2.05,-0.3)} node{$-2$}; \addplot[red] coordinates {(-3.8,1)} node{$\frac{\ln(x^2-1)}{x^2-4}$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#funzione #esponenziale

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$y = e^{\frac{x^2-1}{2x}}$

Soluzione

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

trovare le condizioni di esistenza (C.E.)

vedere se la funzione è simmetrica

stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero

limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)

studio della derivata prima per trovare massimi e minimi

studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

Step 1

Le condizioni di esistenza che dobbiamo porre in questo caso riguardano l’esistenza della frazione. Sappiamo che una frazione esiste solo se il denominatore è diverso da zero, quindi la prima C.E. è

$2x \neq 0$

Non ci sono invece restrizioni per l’esistenza dell’esponenziale.

L’unica mia C.E. è quindi

$2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione $f$ è pari se

$f(-x) = f(x)$

mentre è dispari se

$f(-x) = -f(x)$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso $f(-x)$ :

$\begin{align*} f(-x) & = e^{\frac{(-x)^2-1}{2(-x)}} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{-2x}} \\ & = e^{-\frac{x^2-1}{2x}} \\ f(-x) & \neq \begin{cases} f(x) = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \\ -f(x) = -e^{\frac{x^2-1}{2x}} \end{cases} \end{align*}$

La funzione non è quindi nè pari nè dispari.

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando $y = f(x) = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \geq 0$ . Dal momento che un’esponenziale è sempre positivo, la disequazione è sempre verificata. Ricordiamo infatti che

$e^{\star(x)} \geq 0 \qquad \forall \; x \in \mathbb{R}$

dove $\star(x)$ è una qualsiasi funzione di $x$ . Nel nostro caso $\star(x) = \frac{x^2-1}{2x}$ e $e^{\frac{x^2-1}{2x}} \geq 0$ è verificata per ogni $x$ in $\mathbb{R}$ . Andiamo a raffigurare subito quello che abbiamo trovato. A parole abbiamo sostanzialmente provato che la funzione non assume mai valori negativi, ossia $y$ negative. Indico in griglio le regioni in cui non c’è la funzione.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-6,-6) -- (axis cs:6,-6) -- (axis cs:6,0) -- (axis cs:-6,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (-1,-1) (4.5,-1) }; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x^2-1}{2x}} = "e^{\frac{\infty}{\infty}}"$

Per risolvere la forma indeterminata possiamo procedere in due modi. Il primo è quello di ragionare sugli asintotici. Infatti, nella frazione, il numeratore a più infinito si comporta come $x^2$ mentre il denominatore come $x$ . Quindi

$e^{\frac{x^2-1}{2x}} \sim e^{\frac{x^2}{x}} = e^{x} \longrightarrow +\infty$

La seconda alternativa è quella di fare effettivamente i conti raccogliendo i termini di grado maggiore nella frazione:

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x^2-1}{2x}} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2x}} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2}} \\ & = "e^{+\infty}" \\ & = +\infty \end{align*}$

dove nel terzo passaggio ho che $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$ quando $x \rightarrow +\infty$ .

Poichè il limite a $+\infty$ è $+\infty$ , dobbiamo andare a verificare se esiste un asintoto obliquo, ossia se la funzione tende a una retta del tipo $y = mx + q$ quando $x\rightarrow + \infty$ . Ricordo che in generale il primo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$

Se il limite di $\frac{f(x)}{x}$ esiste finito, allora quel limite sarà il coefficiente di $x$ nella formula della retta. Il secondo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) -mx = q$

Se il limite di $f(x) -mx$ esiste finito, allora quel limite sarà il termine noto nella formula della retta.

Andiamo quindi a calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$

Abbiamo già notato che $e^{\frac{x^2-1}{2x}} \sim e^x$ quando $x$ è molto grande. Quindi

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{\frac{x^2-1}{2x}}}{x} & \sim \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x} \\ & = "\frac{\infty}{\infty}" \\ & \overset{\text{De l'Hopital}}{=} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{1} \\ & = +\infty \end{align*}$

Alternativamente a De l’Hopital, possiamo proseguire sulla strada degli ordini di infinito: ricordiamo infatti che per $\mathbf{x \rightarrow + \infty}$ l’ordine di infiniti è

$\log_a(x) << x^b << c^x << x^x$

con $a>0,a\neq 1, b>0, c >1$ .

Abbiamo quindi che l’esponenziale di $x$ tende a più infinito molto più velocemente di $x$ , quindi nella frazione $\frac{e^x}{x}$ "vince" il numeratore che porta tutto al suo limite, ossia $e^{+\infty} = +\infty$ .

Non avendo ottenuto un limite finito, non esiste un asintoto obliquo a $+\infty$ .

Passiamo ora al limite a meno infinito.

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{x^2-1}{2x}} & = \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2x}} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{x\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{2}} \\ & = "e^{-\infty}" \\ & = 0 \end{align*}$

Per $x\rightarrow -\infty$ abbiamo quindi l’asintoto orizzontale $y=0$ (ossia l’asse delle $x$ ).

Passiamo ora ai limiti dell’ asintoto verticale.

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{x^2-1}{2x}} & = "e^{\frac{-1^+}{0^+}}" \\ & = "e^{-\infty}" \\ & = 0 \end{align*}$

poichè a numeratore della frazione a esponente ho un numero negativo e a denominatore un numero positivo.

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0^-} e^{\frac{x^2-1}{2x}} & = "e^{\frac{-1^-}{0^-}}" \\ & = "e^{+\infty}" \\ & = +\infty \end{align*}$

poichè a numeratore e a denominatore della frazione a esponente ho un numero negativo.

Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=500, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-6,-6) -- (axis cs:6,-6) -- (axis cs:6,0) -- (axis cs:-6,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (-1,-1) (4.5,-1) }; \addplot[black, mark=o, only marks] coordinates {(0,0)}; \addplot[red,domain=-6:-5,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \addplot[red,domain=-0.3:-0.1,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \addplot[red,domain=0.1:0.5,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \addplot[red,domain=3.5:4.5,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: è una funzione composta, quindi applichiamo la formula della derivata di $f(g(x))$ : indico con $D$ o $'$ il simbolo di derivata.

$\begin{align*} y^{'} & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{2x(2x)-(x^2-1)(2)}{(2x)^2} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{4x^2-2x^2+2}{4x^2} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{2x^2+2}{4x^2} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{2(x^2+1)}{4x^2} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{x^2+1}{2x^2} \end{align*}$

Ricordiamo in breve come si calcola una derivata composta:

$D(f(g(x))) = f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)$

Nel nostro caso $f(x) = e^x$ e $g(x) = \frac{x^2-1}{2x}$ . Infatti

$f(g(x)) = e^{\frac{x^2-1}{2x}}$

ossia al posto della $x$ nella definizione di $f$ devo mettere $g(x)$ . Con queste definizioni ho

$\begin{align*} f^{'}(x) & = e^x \\ g^{'}(x) & = \text{derivata di una frazione} \\ & = \frac{D(x^2-1)\cdot 2x - (x^2-1) \cdot D(2x)}{(2x)^2} \\ & = \frac{2x\cdot 2x - (x^2-1) \cdot 2}{(2x)^2} \end{align*}$

Mettendo insieme i pezzi ho che $f^{'}(g(x))$ è $e^{\frac{x^2-1}{2x}}$ e la derivata finale

$D\left(e^{\frac{x^2-1}{2x}}\right) = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{2x\cdot 2x - (x^2-1) \cdot 2}{(2x)^2}$

Dovrei ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando $y^{'} \geq 0$ :

$e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{x^2+1}{2x^2} \geq 0$

Andiamo ad analizzare singolarmente i tre elementi che costituiscono questa derivata: l’esponenziale, il numeratore e il denominatore.

Come abbiamo detto prima, un esponenziale è sempre positivo: quindi il fattore $e^{\frac{x^2-1}{2x}}$ è sempre maggiore o uguale a zero.

Il numeratore è $x^2+1$ : sappiamo che un quadrato è sempre positivo, quindi $x^2$ è sempre maggiore o uguale di zero. Se a questo $x^2$ ci aggiungiamo $+1$ , a maggior ragione otteniamo un elemento maggiore o uguale di zero. Quindi anche il numeratore è sempre positivo.

$\text{qualcosa positivo} + \text{qualcosa positivo} = \text{qualcosa positivo}$

Il denominatore è $2x^2$ : analogamente al numeratore, so che $x^2$ è sempre positivo poichè è un quadrato. Se moltiplico $x^2$ per $+2$ ottengo sempre qualcosa di positivo. Quindi anche il denominatore è positivo.

$\text{qualcosa positivo} \cdot \text{qualcosa positivo} = \text{qualcosa positivo}$

Quindi, quando vado a moltiplicare fra loro tutti e tre i fattori, sto moltiplicando sempre cose positive: il risultato non può che essere positivo.

Ottengo quindi che la derivata è sempre positiva, ossia $y^{'} \geq 0 \; \forall \; x \in \mathbb{R}$ . Tradotto, la funzione è sempre crescente.

$\begin{tikzpicture} \draw (-1,0)--(1,0); \node at (-2,0.5) {$y^{'} \geq 0$:}; \node at (0,0.5) {$+$}; \draw[->] (-0.8,-0.6)--(0.8,-0.3); \end{tikzpicture}$

Non esistono quindi punti di massimo o minimo.

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$\begin{align*} y^{'} & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{x^2+1}{2x^2} \\ y^{''} & = D\left(e^{\frac{x^2-1}{2x}}\right) \cdot \frac{x^2+1}{2x^2} + e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot D\left(\frac{x^2+1}{2x^2}\right) \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{x^2+1}{2x^2} \cdot \frac{x^2+1} {2x^2} + e^{\frac{x^2-1}{2x}} \cdot \frac{2x(2x^2)-(x^2+1)(4x)}{4x^4} \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \left(\frac{(x^2+1)^2}{4x^4} + \frac{4x^3-4x^3-4x}{4x^4} \right) \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \left(\frac{(x^2+1)^2-4x}{4x^4} \right) \\ & = e^{\frac{x^2-1}{2x}} \left(\frac{x^4+1+2x^2-4x}{4x^4} \right) \end{align*}$

Andiamo ora a studiare quando questa è positiva. Con ragionamento analogo a quello fatto per la derivata prima, abbiamo che l’esponenziale è sempre positivo, così come il fattore $4x^4$ . Quindi, studiare $y^{''} \geq 0$ equivale a studiare $x^4+2x^2-4x+1 \geq 0$ .

Cerchiamo di scomporre questo polinomio utilizzando Ruffini. Vediamo che per $x=1$ abbiamo

$(1)^4+2(1)^2-4(1)+1 = 0$

quindi $x=1$ è una radice del polinomio.

$\begin{tikzpicture} \draw (-0.5,0) -- (3,0); \draw (0,1.5)--(0,-0.5); \draw (2.2,1.5)--(2.2,-0.5); \node at (0.25,1) {$1$}; \node at (0.75,1) {$0$}; \node at (1.25,1) {$2$}; \node at (1.75,1) {$-4$}; \node at (2.5,1) {$1$}; \node at (-0.25,0.5) {$1$}; \node at (0.25,-0.25) {$1$}; \node at (0.75,0.5) {$1$}; \node at (0.75,-0.25) {$1$}; \node at (1.25,0.5) {$1$}; \node at (1.25,-0.25) {$3$}; \node at (1.75,0.5) {$3$}; \node at (1.75,-0.25) {$-1$}; \node at (2.5,0.5) {$-1$}; \node at (2.5,-0.25) {$0$}; \end{tikzpicture}$

Posso quindi scomporre $x^4+2x^2-4x+1$ come

$(x-1)(x^3+x^2+3x-1)$

Notizia buona: possiamo dire subito che $x=1$ è un punto di flesso in quanto la derivata seconda si annulla in questo punto.

Notizia cattiva: non possiamo dire nulla sul polinomio di terzo grado $x^3+x^2+3x-1$ in quanto non lo sappiamo scomporre ulteriormente.

Dallo studio della derivata seconda possiamo quindi dire solo che esiste un punto di flesso in $x=1$ .

Dagli elementi che abbiamo trovato ipotizziamo che il grafico sia

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=500, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-6,-6) -- (axis cs:6,-6) -- (axis cs:6,0) -- (axis cs:-6,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (-1,-1) (4.5,-1) }; \addplot[dashed,black] coordinates { (1,0) (1,1) }; \addplot[dashed,black] coordinates { (0,1) (1,1) }; \addplot[black, mark=o, only marks] coordinates {(0,0)}; \addplot[red,domain=-6:-0.1,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \addplot[red,domain=0.1:4.5,semithick]{exp((x^2-1)/(2*x))}; \addplot[red] coordinates {(-3.8,2)} node{$e^{\frac{x^2-1}{2x}}$}; \addplot[black] coordinates {(1,-0.5)} node{$1$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#funzione #per #casi

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$y = \frac{x^2-1}{|x-2|+3x}$

Soluzione

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

trovare le condizioni di esistenza (C.E.)

vedere se la funzione è simmetrica

stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero

limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)

studio della derivata prima per trovare massimi e minimi

studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

Step 1

Le condizioni di esistenza che dobbiamo porre in questo caso riguardano l’esistenza della frazione. Prima di fare questo però, ogni volta che abbiamo una funzione con un solo valore assoluto, ci conviene "dividere" la funzione tramite la definizione di valore assoluto e vedere cosa otteniamo. Ricordo la definizione di valore assoluto:

$|\star(x)| = \begin{cases} \star(x) & \text{se} \; \star(x) \geq 0 \\ -\star(x) & \text{se} \; \star(x) < 0 \end{cases}$

dove $\star(x)$ è una qualiasi funzione di $x$ . Per esempio,

$\begin{align*} |x^2-2x-1| & = \begin{cases} x^2-2x-1 & \text{se} \; x^2-2x-1 \geq 0 \\ -x^2+2x+1 & \text{se} \; x^2-2x-1 < 0 \end{cases} \\ |3x-\ln(x)| & = \begin{cases} 3x-\ln(x) & \text{se} \; 3x-\ln(x) \geq 0 \\ -3x+\ln(x) & \text{se} \; 3x-\ln(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Nel nostro caso,

$|x-2| = \begin{cases} x-2 & \text{se} \; x-2 \geq 0 \\ -x+2 & \text{se} \; x-2 < 0 \end{cases}$

Con questa definizione, la nostra funzione diventa

$y = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-2+3x} & \text{se} \; x-2 \geq 0 \\ \\ \frac{x^2-1}{-x+2+3x} & \text{se} \; x-2 < 0 \end{cases}$

$y = \begin{cases} \frac{x^2-1}{4x-2} & \text{se} \; x \geq 2 \\ \\ \frac{x^2-1}{2x+2} & \text{se} \; x < 2 \end{cases}$

Inoltre, scomponendo sia numeratore che denominatore otteniamo

$y = \begin{cases} \frac{(x+1)(x-1)}{2(2x-1)} & \text{se} \; x \geq 2 \\ \\ \frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)} & \text{se} \; x < 2 \end{cases}$

$y = \begin{cases} \frac{(x+1)(x-1)}{2(2x-1)} & \text{se} \; x \geq 2 \\ \\ \frac{x-1}{2} & \text{se} \; x < 2 \end{cases}$

Otteniamo quindi che la nostra funzione, nell’intervallo $(-\infty,2)$ in realtà altro non è che una retta. Le uniche C.E. da porre sono quindi quelle relative alla frazione nell’altro intervallo.

Sappiamo che una frazione esiste solo se il denominatore è diverso da zero, quindi la prima C.E. è

$2(2x-1) \neq 0$

Non ci sono invece restrizioni per l’esistenza della retta.

L’unica mia C.E. è quindi

$2(2x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$

ATTENZIONE: visto che nell’intervallo $(-\infty,2)$ la mia funzione è una retta, non occorre studiarla perchè sappiamo già perfettamente come disegnarla e tutte le sue caratteristiche. Da qui in poi mi limito quindi a studiare ciò che succede in $[2,+\infty)$ , ossia alla funzione $y = \frac{(x+1)(x-1)}{2(2x-1)} = \frac{x^2-1}{4x-2}$

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione $f$ è pari se

$f(-x) = f(x)$

mentre è dispari se

$f(-x) = -f(x)$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso $f(-x)$ :

$\begin{align*} f(-x) & = \frac{(-x)^2-1}{4(-x)-2} \\ & = \frac{x^2-1}{-4x-2} \\ & = \frac{x^2-1}{-(4x+2)} \\ & = -\frac{x^2-1}{4x+2} \\ f(-x) & \neq \begin{cases} f(x) = \frac{x^2-1}{4x-2} \\ -f(x) = -\frac{x^2-1}{4x-2} \end{cases} \end{align*}$

La funzione non è quindi nè pari nè dispari.

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando $y = f(x) = \frac{x^2-1}{4x-2} \geq 0$ .

Dobbiamo quindi risolvere una disequazione fratta. Andiamo a studiare separatamente il segno del numeratore, del denominatore e poi quello della frazione intera.

NUMERATORE

Dobbiamo andare a vedere quando $x^2-1 \geq 0$ .

$\begin{align*} x^2-1 & \geq 0 \\ x^2 & \geq 1 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ & \downarrow \\ \text{avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni}\\ x \leq -1 & \cup x \geq 1 \end{align*}$

DENOMINIATORE

Dobbiamo andare a vedere quando $4x-2 > 0$ .

$\begin{align*} 4x-2 & > 0 \\ 4x & > 2 \\ \frac{4x}{4} & > \frac{2}{4} \\ x & > \frac{1}{2} \end{align*}$

FRAZIONE

Andiamo quindi a costruire il castello dei segni con quello che abbiamo trovato. In particolare, abbiamo che

$\text{Numeratore} \geq 0: x \leq -1 \cup x \geq 1 \\ \text{Denominatore} > 0: x > \frac{1}{2}$

Andiamo quindi a mettere una $+$ in questi intervalli.

$\begin{tikzpicture} \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,3); \draw (1,-0.2)--(1,3); \draw (0,-0.2)--(0,3); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0,-0.5) {$\frac{1}{2}$}; \node at (1,-0.5) {$1$}; \node at (-3.5,2.5) {\small Numeratore:}; \node at (-3.5,1.5) {\small Denominatore:}; \node at (-3.5,0.5) {\small Frazione:}; \draw (-2,1)--(2,1); \draw (-2,2)--(2,2); %Numeratore \draw[fill=black] (-1,2.5) circle (0.1cm); \draw[fill=black] (1,2.5) circle (0.1cm); \node at (-1.5,2.5) {$+$}; \node at (1.5,2.5) {$+$}; \node at (-0.5,2.5) {$-$}; \node at (0.5,2.5) {$-$}; %Denominatore \draw (0,1.5) circle (0.1cm); \node at (-1.5,1.5) {$-$}; \node at (1.5,1.5) {$+$}; \node at (-0.5,1.5) {$-$}; \node at (0.5,1.5) {$+$}; %Frazione \draw[fill=black] (-1,0.5) circle (0.1cm); \draw[fill=black] (1,0.5) circle (0.1cm); \draw (0,0.5) circle (0.1cm); \node at (-1.5,0.5) {$-$}; \node at (1.5,0.5) {$+$}; \node at (-0.5,0.5) {$+$}; \node at (0.5,0.5) {$-$}; \end{tikzpicture}$

Visto che stavamo cercando quando la frazione è positiva, le soluzioni sono $-1 \leq x < \frac{1}{2} \vee x \geq 1$ .

La funzione è però definita solo su $[2,+\infty)$ , quindi è questo l’intervallo in cui ci interessa sapere se è positiva o no. Visto che abbiamo trovato che essa è positiva per $x \geq 1$ , in particolare lo è quindi per $x \geq 2$ .

Quindi, la funzione, nell’intervallo in cui è definita, è sempre positiva.

Andiamo subito a graficare quanto abbiamo trovato. Indico in griglio le regioni in cui non c’è la funzione e in rosso la funzione (disegno già la retta).

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-6, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:2,-6) -- (axis cs:6,-6) -- (axis cs:6,0) -- (axis cs:2,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (2,-1) (4.5,-1) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; \addplot[red,domain=-6:2,semithick]{(x-1)/2}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[black] coordinates {(2,-0.5)} node{$2$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio (solo $[2,+\infty)$ per il motivo descritto al passo 1).

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-1}{4x-2} = "\frac{\infty}{\infty}"$

Per risolvere la forma indeterminata, visto che abbiamo una frazione di polinomi e stiamo facendo il limite a infinito, dobbiamo raccogliere sia a numeratore che a denominatore il termine di grado maggiore.

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-1}{4x-2} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(4-\frac{2}{x^2}\right)} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(4-\frac{2}{x^2}\right)} \\ & = +\infty \end{align*}$

dove nel terzo passaggio ho che $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$ e $\frac{2}{x^2} \rightarrow 0$ quando $x \rightarrow +\infty$ .

Poichè il limite a $+\infty$ è $+\infty$ , dobbiamo andare a verificare se esiste un asintoto obliquo, ossia se la funzione tende a una retta del tipo $y = mx + q$ quando $x\rightarrow + \infty$ . Ricordo che in generale il primo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$

Se il limite di $\frac{f(x)}{x}$ esiste finito, allora quel limite sarà il coefficiente di $x$ nella formula della retta. Il secondo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) -mx = q$

Se il limite di $f(x) -mx$ esiste finito, allora quel limite sarà il termine noto nella formula della retta.

Andiamo quindi a calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$

Nel nostro caso diventa

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{x^2-1}{4x-2}}{x} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-1}{x(4x-2)} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2-1}{4x^2-2x} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(4-\frac{2}{x}\right)} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{\left(4-\frac{2}{x}\right)} \\ & = \frac{1}{4} \end{align*}$

Avendo ottenuto un limite finito, potrebbe esistere un asintoto obliquo a $+\infty$ . Abbiamo appena trovato $m = \frac{1}{4}$ e andiamo quindi a vedere quanto vale $q$ .

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-1}{4x-2} -\frac{1}{4}x & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-1}{2(2x-1)} -\frac{1}{4}x \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2(x^2-1)-(2x-1)x}{4(2x-1)} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x^2-2-2x^2+x}{4(2x-1)} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x-2}{8x-4} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}{x\left(8-\frac{4}{x}\right)} \\ & = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\left(1-\frac{2}{x}\right)}{\left(8-\frac{4}{x}\right)} \\ & = \frac{1}{8} \end{align*}$

Abbiamo quindi un asintoto obliquo a $+\infty$ : ciò significa che la funzione per $x\rightarrow +\infty$ tende alla retta

$y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}$

Ufficialmente avremmo anche un asintoto verticale $x= \frac{1}{2}$ . Non occorre però calcolare i limiti destro e sinistro per $x$ che tende a $\frac{1}{2}$ perchè in quel punto in realtà la funzione è definita come la retta, e non come la frazione di polinomi. In altre parole, nel dominio dove è definita la frazione di polinomi, ossia in $[2,+\infty)$ , la funzione non ha asintoti verticali.

L’unica cosa che forse vale la pena approfondire un attimo, è andare a vedere cosa succede in $x=2$ , ossia se la funzione lì è continua oppure no.

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 2^+} \frac{x^2-1}{4x-2} & = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ \lim_{x \rightarrow 2^-} \frac{x-1}{2} & = \frac{1}{2} \end{align*}$

La funzione è quindi continua in $x=2$ .

Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione e in verde l’asintoto obliquo.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=1200, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:2,-6) -- (axis cs:5.7,-6) -- (axis cs:5.7,0) -- (axis cs:2,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (2,-1) (4.5,-1) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; \addplot[red,domain=-3:2,semithick]{(x-1)/2}; \addplot[red,domain=5:6,semithick]{(x^2-1)/(4*x-2)}; \addplot[green,domain=-3:6,dashed]{(1/4)*x+(1/8)}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \addplot[black] coordinates {(2,-0.5)} node{$2$}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: è una frazione, quindi applichiamo la formula della derivata di $\frac{f(x)}{g(x)}$ : indico con $D$ o $'$ il simbolo di derivata.

$\begin{align*} y^{'} & = \frac{D(x^2-1)\cdot (4x-2)-(x^2-1)\cdot D(4x-2)}{(4x-2)^2} \\ & = \frac{2x(4x-2)-(x^2-1)(4)}{(4x-2)^2} \\ & = \frac{8x^2-4x-4x^2+4}{(4x-2)^2} \\ & = \frac{4x^2-4x+4}{(4x-2)^2} \\ & = \frac{4(x^2-x+1)}{(2(2x-1))^2} \\ & = \frac{4(x^2-x+1)}{4(2x-1)^2} \\ & = \frac{x^2-x+1}{(2x-1)^2} \end{align*}$

Dovrei ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando $y^{'} \geq 0$ :

$\frac{x^2-x+1}{(2x-1)^2} \geq 0$

Visto che il denominatore è sempre positivo (è un quadrato, e i quadrati sono sempre non-negativi), studiare quando quella frazione è maggiore o uguale di zero equivale a studiare quando il numeratore è maggiore o uguale di zero.

$x^2-x+1 \geq 0$

Passo all’equazione associata.

$x^2-x+1 = 0$

Calcolo il delta:

$\Delta = 1-4(1)(1) = -3 < 0$

Visto che abbiamo ottenuto un delta negativo e stavamo studiando un $\geq$ , la soluzione è $\forall \; x \in \mathbb{R}$ , ossia il numeratore è sempre positivo.

Memo sulle disequazioni di secondo grado: arrivati a una formula del tipo $ax^2+bx+c\gtrless 0$ con $\underline{\mathbf{a > 0}}$ , si risolve l’equazione associata $ax^2+bx+c= 0$ e

Se $\Delta < 0$ :

se $ax^2+bx+c \geq 0 \Rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R}$

se $ax^2+bx+c \leq 0 \Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}$

Se $\Delta = 0$ : detta $x_1$ la soluzione dell’equazione associata,

se $ax^2+bx+c \geq 0 \Rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R}$

se $ax^2+bx+c \leq 0 \Rightarrow x=x_1$

se $ax^2+bx+c > 0 \Rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R}, x \neq x_1$

se $ax^2+bx+c < 0 \Rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}$

Se $\Delta > 0$ : dette $x_1,x_2$ le soluzioni dell’equazione associata, con $x_2 < x_1$ ,

se $ax^2+bx+c \geq 0 \Rightarrow x \leq x_2 \vee x \geq x_1$

se $ax^2+bx+c \leq 0 \Rightarrow x_2 \leq x \leq x_1$

dove, nell’ultimo caso, gli estremi sono inclusi o esclusi a seconda se la disuguaglianza è stretta o no.

Ottengo quindi che la derivata è sempre positiva, ossia $y^{'} \geq 0 \; \forall \; x \in [2,+\infty)$ . Tradotto, la funzione è sempre crescente.

$\begin{tikzpicture} \draw (-1,0)--(1,0); \node at (-2,0.5) {$y^{'} \geq 0$:}; \node at (0,0.5) {$+$}; \draw[->] (-0.8,-0.6)--(0.8,-0.3); \end{tikzpicture}$

Non esistono quindi punti di massimo o minimo.

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$\begin{align*} y^{'} & = \frac{x^2-x+1}{(2x-1)^2} \\ y^{''} & = \frac{D(x^2-x+1)\cdot (2x-1)^2 - (x^2-x+1)\cdot D((2x-1)^2)}{(2x-1)^4} \\ & = \frac{(2x-1)(2x-1)^2 - (x^2-x+1)2(2x-1)(2)}{(2x-1)^4} \\ & = \frac{(2x-1)[(2x-1)^2 - 4(x^2-x+1)]}{(2x-1)^4} \\ & = \frac{(2x-1)[4x^2+1-4x - 4x^2+4x-4]}{(2x-1)^4} \\ & = \frac{-3(2x-1)}{(2x-1)^4} \end{align*}$

Andiamo ora a studiare quando questa è positiva. Non semplifico, volutamente, il numeratore con il denominatore perchè lasciando il denominatore così com’è ho che è sempre positivo in quanto è elevato alla quarta. Avendo un denominatore sempre positivo posso andare a studiare il segno solo del numeratore. Se avessi invece semplificato, avrei dovuto studiare il numeratore, il denominatore e poi l’intera frazione costruendo il castello dei segni.

Quindi, lasciando la derivata seconda scritta così, studiare quando è positiva equivale a studiare quando

$-3(2x-1) \geq 0$

Moltiplico tutto per -1 ricordandomi di cambiare il verso alla disuguaglianza (sto moltiplicando per un numero negativo):

$\begin{align*} 3(2x-1) & \leq 0 \\ \frac{3(2x-1)}{3} & \leq \frac{0}{3} \\ 2x-1 & \leq 0 \\ 2x & \leq 1 \\ \frac{2x}{2} & \leq \frac{1}{2} \\ x & \leq \frac{1}{2} \end{align*}$

Dallo studio della derivata seconda possiamo quindi dire che esiste un punto di flesso in $x=\frac{1}{2}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw (-1,0)--(1,0); \draw (0,-0.2)--(0,1); \node at (-2,0.5) {$y^{''}\geq 0$}; \node at (0,-0.5) {$\frac{1}{2}$}; \node at (-0.5,0.5) {$+$}; \node at (0.5,0.5) {$-$}; \draw (-0.9,-0.6) arc (-180:0:0.3); \draw (0.4,-0.9) arc (180:0:0.3); \end{tikzpicture}$

Nel nostro intervallo, $[2,+\infty)$ la derivata seconda è negativa e quindi la funzione è concava.

Dagli elementi che abbiamo trovato, il grafico è dato da

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=1200, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=6, ymin=-6.5, ymax=6.5, restrict y to domain=-6:6, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:2,-6) -- (axis cs:5.7,-6) -- (axis cs:5.7,0) -- (axis cs:2,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (2,-1) (4.5,-1) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-6) (2,6) }; \addplot[red,domain=-3:2,semithick]{(x-1)/2}; \addplot[red,domain=2:6,semithick]{(x^2-1)/(4*x-2)}; \addplot[green,domain=-3:6,dashed]{(1/4)*x+(1/8)}; \addplot[black] coordinates {(2,-0.5)} node{$2$}; \addplot[red] coordinates {(-1.5,2.5)} node{$\frac{x^2-1}{|x-2|+3x}$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Visto così sembrano due rette, ma zoommando un po’ intorno a $x=2$ il grafico è

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=1200, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=0, xmax=3, ymin=-1, ymax=1, restrict y to domain=-1:1, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:2,-1) -- (axis cs:3,-1) -- (axis cs:3,0) -- (axis cs:2,0) -- cycle; \addplot[grey!10] coordinates { (2,-1) (3,-1) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-1) (2,1) }; \addplot[red,domain=0:2,semithick]{(x-1)/2}; \addplot[red,domain=2:3,semithick]{(x^2-1)/(4*x-2)}; \addplot[green,domain=0:3,dashed]{(1/4)*x+(1/8)}; \addplot[red] coordinates {(1,-0.5)} node{$\frac{x^2-1}{|x-2|+3x}$}; \addplot[black] coordinates {(2,-0.5)} node{$2$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esercizio 4

Difficoltà:

#funzione #polinomiale

Studia e rappresenta graficamente la seguente funzione

$y = x^4-5x^2+4$

Soluzione

Come prima cosa ricordo a grandi linee gli step necessari per studiare una funzione

trovare le condizioni di esistenza (C.E.)

vedere se la funzione è simmetrica

stabilire il segno della funzione, ossia guardare quando la funzione è maggiore o uguale a zero

limiti agli estremi e nei punti di discontinuità (se ci sono)

studio della derivata prima per trovare massimi e minimi

studio della derivata seconda per trovare punti di flesso

Il primo consiglio che darei è quello di disegnare SUBITO ogni cosa che trovo in ogni step, così non si perdono dati per strada.

Step 1

In questo caso non ci sono condizioni di esistenza, ossia la funzione è ben definita in tutto $\mathbb{R}$ . Infatti, la funzione è un polinomio di quarto grado, quindi sappiamo già che ha come dominio $\mathbb{R}$ e non ha punti di discontinuità.

STEP 2

Vedere se la funzione è simmetrica significa vedere se è pari o dispari. Ricordiamo che una funzione $f$ è pari se

$f(-x) = f(x)$

mentre è dispari se

$f(-x) = -f(x)$

Andiamo quindi a calcolare nel nostro caso $f(-x)$ :

$\begin{align*} f(-x) & = (-x)^4-5(-x)^2+4 \\ & = x^4-5x^2+4 \\ & = f(x) \end{align*}$

La funzione è quindi pari: questo significa che il grafico sarà simmetrico rispetto all’asse $y$ .

STEP 3

Andiamo ora a vedere quando $y = f(x) = x^4-5x^2+4 \geq 0$ .

Per risolvere questa disequazione introduciamo una variabile ausiliaria: poniamo $t = x^2$ . Così facendo, la disequazione diventa

$t^2-5t+4 \geq 0$

Abbiamo quindi trasformato una disequazione di quarto grado in una disequazione di secondo grado, che sappiamo risolvere.

$\begin{align*} t^2-5t+4 & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ t^2-5t+4 & = 0 \\ t_{1/2} & = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)(4)}}{2(1)} \\ & = \frac{+5\pm\sqrt{25-16}}{2} \\ & = \frac{5 \pm 3}{2} \\ & = \begin{cases} 4 \\ 1 \end{cases} \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ t \leq 1 \; \; & \vee \; \; t \geq 4 \end{align*}$

Ora che ho trovato la soluzione in $t$ , devo tornare indietro e sostituire $t=x^2$ per trovare le soluzioni in $x$ .

Dalla prima disuguaglianza $t \leq 1$ ottengo

$\begin{align*} t & \leq 1 \\ x^2 & \leq 1 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \leq & \Rightarrow \text{intervalli interni:} \\ -1 \leq \; & x \leq 1 \end{align*}$

Dalla seconda disuguaglianza $t \geq 4$ ottengo

$\begin{align*} t & \geq 4 \\ x^2 & \geq 4 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata} \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -2 \; \; & \vee \; \; x \geq 2 \end{align*}$

Mettendo tutto insieme, abbiamo scoperto che la funzione è positiva in

$x \leq -2 \vee -1 \leq x \leq 1 \vee x \geq 2$

Riportiamo queste informazioni sul grafico. Indico con il grigio le zone in cui la funzione "non c’è"; i pallini rossi sull’asse delle $x$ indicano le intersezioni (i punti in cui la funzione è zero), ossia i punti $x = \pm 2, x = \pm 1$ nel nostro caso.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=3, ymin=-3, ymax=8, restrict y to domain=-3:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] %\addplot[red,domain=-6:6,semithick]{exp(x)}; %\addplot[black]{x+1}; \fill[grey!10] (axis cs:-3,-3) -- (axis cs:-2,-3) -- (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-3,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,8) -- (axis cs:-2,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,-3) -- (axis cs:1,-3) -- (axis cs:1,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:1,0) -- (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,8) -- (axis cs:1,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:2,0) -- (axis cs:3,0) -- (axis cs:3,-3) -- (axis cs:2,-3) -- cycle; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-1,0) (1,0) (-2,0) (2,0)}; \addplot[] coordinates {(1,-0.5)} node{\small $1$}; \addplot[] coordinates {(2,-0.5)} node{\small $2$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{\small $-1$}; \addplot[] coordinates {(-2,-0.5)} node{\small $-2$}; %\addplot[red] coordinates {(-1,0.6)} node{$y=e^x$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 4

Andiamo a vedere i limiti agli estremi del nostro dominio.

$\lim_{x \rightarrow +\infty} x^4-5x^2+4 = "+\infty-\infty"$

Per risolvere la forma indeterminata basta semplicemente raccogliere il termine di grado maggiore, ossia $x^4$ .

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} x^4-5x^2+4 & = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^4\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right) \\ & = +\infty \end{align*}$

perchè le due frazioni fra parentesi tendono a zero.

Abbiamo quindi ottenuto che la funzione va a $+\infty$ per $x\rightarrow + \infty$ . Poichè abbiamo stabilito che la funzione è pari, ossia simmetrica rispetto l’asse $y$ ho che anche il limite per $x \rightarrow -\infty$ è $+\infty$ .

Siamo ufficialmente nel caso in cui potrebbero esserci degli asintoti obliqui. Dobbiamo andare a verificare se esiste un asintoto obliquo, ossia se la funzione tende a una retta del tipo $y = mx + q$ quando $x\rightarrow + \infty$ . Ricordo che in generale il primo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = m$

Se il limite di $\frac{f(x)}{x}$ esiste finito, allora quel limite sarà il coefficiente di $x$ nella formula della retta. Il secondo step è calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) -mx = q$

Se il limite di $f(x) -mx$ esiste finito, allora quel limite sarà il termine noto nella formula della retta.

Andiamo quindi a calcolare

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$

Nel nostro caso diventa

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^4-5x^2+4}{x}$

Come prima, raccogliamo il termine di grado maggiore a numeratore:

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^4-5x^2+4}{x} & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^4\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right)}{x} \\ & = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^3\left(1-\frac{5}{x^2}+\frac{4}{x^4}\right)}{1} \\ & = +\infty \end{align*}$

Dal momento che non abbiamo trovato un limite finito, la funzione non ha asintoti obliqui nè a $+\infty$ nè a $-\infty$ visto che è una funzione simmetrica rispetto l’asse $y$ .

Riportiamo sul grafico quello che abbiamo trovato. Disegno in rosso la funzione.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=3, ymin=-3, ymax=8, restrict y to domain=-3:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-3,-3) -- (axis cs:-2,-3) -- (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-3,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,8) -- (axis cs:-2,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,-3) -- (axis cs:1,-3) -- (axis cs:1,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:1,0) -- (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,8) -- (axis cs:1,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:2,0) -- (axis cs:3,0) -- (axis cs:3,-3) -- (axis cs:2,-3) -- cycle; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-1,0) (1,0) (-2,0) (2,0)}; \addplot[] coordinates {(1,-0.5)} node{\small $1$}; \addplot[] coordinates {(2,-0.5)} node{\small $2$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{\small $-1$}; \addplot[] coordinates {(-2,-0.5)} node{\small $-2$}; \addplot[red,domain=-3:-2.35,semithick]{x^4-5*x^2+4}; \addplot[red,domain=3:2.35,semithick]{x^4-5*x^2+4}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

STEP 5

Calcoliamo la derivata prima: indico con $D$ o $'$ il simbolo di derivata.

$\begin{align*} y^{'} & = D(x^4-5x^2+4) \\ & = D(x^4)-5D(x^2)+D(4) \\ & = 4x^3-5(2x)+0 \\ & = 4x^3-10x \end{align*}$

Devo ora studiare il segno della derivata prima, ossia quando $y^{'} \geq 0$ . Nel nostro caso

$4x^3-10x \geq 0$

Raccolgo $2x$ e ottengo

$2x(2x^2-5) \geq 0$

Visto che ho un prodotto, studio singolarmente i due fattori.

Fattore 1: $2x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$

Fattore 2: $2x^2-5 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq \frac{5}{2} \Rightarrow x \leq -\sqrt{\frac{5}{2}} \vee x \geq \sqrt{\frac{5}{2}}$

Costruisco quindi il castello dei segni per stabilire il segno del prodotto

$\begin{tikzpicture} \draw (-2.5,0) -- (2.5,0); \draw (0,3) -- (0,-0.2); \draw (-1.5,3) -- (-1.5,-0.2); \draw (1.5,3) -- (1.5,-0.2); \node at (0,-0.5) {$0$}; \node at (-1.5,-0.5) {$-\sqrt{\frac{5}{2}}$}; \node at (1.5,-0.5) {$\sqrt{\frac{5}{2}}$}; \draw (-2.5,2) -- (2.5,2); \draw (-2.5,1) -- (2.5,1); %Numeratore \node at (-3.5,2.5) {\scriptsize Fattore 1:}; \node at (-0.75,2.5) {$-$}; \node at (-2,2.5) {$-$}; \node at (0.75,2.5) {$+$}; \node at (2,2.5) {$+$}; \draw [fill = black](0,2.5) circle (0.07cm); %Denominatore \node at (-3.5,1.5) {\scriptsize Fattore 2:}; \node at (-0.75,1.5) {$-$}; \node at (-2,1.5) {$+$}; \node at (0.75,1.5) {$-$}; \node at (2,1.5) {$+$}; \draw [fill = black](-1.5,1.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](1.5,1.5) circle (0.07cm); %Frazione \node at (-3.5,0.5) {\scriptsize Prodotto:}; \node at (-0.75,0.5) {$+$}; \node at (-2,0.5) {$-$}; \node at (0.75,0.5) {$-$}; \node at (2,0.5) {$+$}; \draw [fill = black](-1.5,0.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](1.5,0.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](0,0.5) circle (0.07cm); \draw[->] (-2.5,-1) -- (-1.5,-2); \draw[->] (-1.4,-2)--(0,-1); \draw[->] (0.1,-1) -- (1.5,-2); \draw[->] (1.6,-2)--(2.5,-1); \end{tikzpicture}$

La funzione è quindi decrescente negli intervalli $\left(-\infty,-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ e $\left(0, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ mentre è crescente in $\left(-\sqrt{\frac{5}{2}},0\right)$ e $\left(\sqrt{\frac{5}{2}},+\infty\right)$ . Abbiamo quindi che zero è un massimo relativo della funzione (relativo perchè la funzione tende a infinito agli estremi), mentre $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ sono minimi assoluti.

STEP 6

Calcoliamo la derivata seconda.

$\begin{align*} y^{''} & = D(4x^3-10x) \\ & = 4D(x^3)-10D(x) \\ & = 4(3x^2)-10(1) \\ & = 12x^2-10 \end{align*}$

Devo ora studiare il segno della derivata seconda, ossia quando $y^{''} \geq 0$ . Nel nostro caso

$\begin{align*} 12x^2-10 & \geq 0 \\ 12x^2 & \geq 10 \\ x^2 & \geq \frac{10}{12} \\ x^2 & \geq \frac{5}{6} \\ & \downarrow \\ \text{equazione} \; & \; \text{associata} \\ x^2 & = \frac{5}{6} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{5}{6}}\\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -\sqrt{\frac{5}{6}} \; \; & \vee \; \; x \geq \sqrt{\frac{5}{6}} \end{align*}$

Dallo studio della derivata seconda possiamo quindi dire che esistono due punti di flesso: $x=\pm \sqrt{\frac{5}{6}}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,1); \draw (1,-0.2)--(1,1); \node at (-3,0.5) {$y^{''}\geq 0$}; \node at (-1,-0.5) {$-\sqrt{\frac{5}{6}}$}; \node at (1,-0.5) {$\sqrt{\frac{5}{6}}$}; \node at (-1.5,0.5) {$+$}; \node at (1.5,0.5) {$+$}; \node at (0,0.5) {$-$}; \draw (-2,-1) arc (-180:0:0.4); \draw (-0.4,-1.4) arc (180:0:0.4); \draw (1.5,-1) arc (-180:0:0.4); \end{tikzpicture}$

La funzione è quindi convessa $(y^{''} > 0)$ in $\left(-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}\right) \cup \left(\sqrt{\frac{5}{6}},+\infty\right)$ mentre è concava $(y^{''} < 0)$ in $\left(-\sqrt{\frac{5}{6}}, \sqrt{\frac{5}{6}}\right)$ .

Il grafico finale della funzione è quindi

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=3, ymin=-3, ymax=8, restrict y to domain=-3:8, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \fill[grey!10] (axis cs:-3,-3) -- (axis cs:-2,-3) -- (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-3,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,8) -- (axis cs:-2,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:-1,0) -- (axis cs:-1,-3) -- (axis cs:1,-3) -- (axis cs:1,0) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:1,0) -- (axis cs:2,0) -- (axis cs:2,8) -- (axis cs:1,8) -- cycle; \fill[grey!10] (axis cs:2,0) -- (axis cs:3,0) -- (axis cs:3,-3) -- (axis cs:2,-3) -- cycle; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(-1,0) (1,0) (-2,0) (2,0)}; \addplot[black,dashed] coordinates { ((5/2)^(1/2),-9/4) ((5/2)^(1/2),0) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-(5/2)^(1/2),-9/4) (-(5/2)^(1/2),0) }; \addplot[] coordinates {(1,-0.5)} node{\small $1$}; \addplot[] coordinates {(2,-0.5)} node{\small $2$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{\small $-1$}; \addplot[] coordinates {(-2,-0.5)} node{\small $-2$}; \addplot[] coordinates {((5/2)^(1/2),0.6)} node{\tiny $\sqrt{\frac{5}{2}}$}; \addplot[] coordinates {(-(5/2)^(1/2),0.6)} node{\tiny $-\sqrt{\frac{5}{2}}$}; \addplot[red,domain=-2.7:2.7,semithick]{x^4-5*x^2+4}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$