A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sul piano cartesiano.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#punto #medio

I punti $A(2;1)$ e $B(6;4)$ sono vertici del triangolo $ABC$ . Sapendo che $M\left(\frac{1}{2};-1\right)$ è il punto medio del lato $AC$ , determina le coordinate di $C$ e il perimetro del triangolo.

Soluzione

Come prima cosa grafichiamo i dati del problema:

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-1,0) -- (7,0); \draw[->] (0,-1.5) -- (0,4.5); \draw[fill=black] (2,1) circle (2pt); \draw[fill=black] (6,4) circle (2pt); \draw[fill=black] (1/2,-1) circle (2pt); \node at (1.5,1) {A}; \node at (5.7,4.3) {B}; \node at (0.9,-1) {M}; \end{tikzpicture}$

Ricordiamo la formula del punto medio:

Il punto medio del segmento $AB$ è $M(x_M;y_M)$ dove

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}, \qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Tradotta nel nostro caso diventa: il punto medio del segmento $AC$ è $M(x_M;y_M)$ dove

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}, \qquad y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$

Nel nostro caso $x_M = \frac{1}{2}$ , $y_M = -1$ , $x_A = 2$ , $y_A = 1$ . Quindi, usando le formule appena scritte ho

$\frac{1}{2} = \frac{2 + x_C}{2}, \qquad -1 = \frac{1 + y_C}{2}$

L’equazione per $x_C$ diventa, moltiplicando destra e sinistra per $2$ :

$1 = 2 + x_C \qquad \rightarrow \qquad x_C = 1-2 = -1$

L’equazione per $y_C$ diventa, moltiplicando destra e sinistra per $2$ :

$-2 = 1 + y_C \qquad \rightarrow \qquad y_C = -2 - 1 = -3$

Il punto $C$ ha quindi coordinate $C(-1,-3)$ .

Il tringolo è quindi

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-1.5,0) -- (7,0); \draw[->] (0,-3.5) -- (0,4.5); \draw[fill=black] (2,1) circle (2pt); \draw[fill=black] (6,4) circle (2pt); \draw[fill=black] (1/2,-1) circle (2pt); \draw[fill=black] (-1,-3) circle (2pt); \node at (1.5,1) {A}; \node at (5.7,4.3) {B}; \node at (0.9,-1) {M}; \node at (-1.4,-3) {C}; \draw[red] (-1,-3) -- (2,1); \draw[red] (2,1) -- (6,4); \draw[red] (6,4) -- (-1,-3); \end{tikzpicture}$

Per calcolare il perimetro detro trovare la lunghezza di ogni segmento. Ricordiamo la formula della lunghezza di un segmento:

La distanza fra due punti $A(x_A;y_A)$ e $B(x_B;y_B)$ è data da

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

Quindi,

$\begin{align*} \overline{AB} & = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{25} = 5 \\ \overline{AC} & = \sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2} = \sqrt{(-1-2)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{25} = 5\\ \overline{BC} & = \sqrt{(x_C-x_B)^2 + (y_C-y_B)^2} = \sqrt{(-1-6)^2 + (-3-4)^2} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\\ \end{align*}$

Il perimetro è quindi:

$5+5+7\sqrt{2} = 10 + 7\sqrt{2}$

Nota: $\sqrt{98} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2} = 7 \sqrt{2}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#grafico

In un riferimento cartesiano, disegna i punti

A(-3;-4), B(-4;0), C(-2;-1),

D(0,5), E(2,3), F(1,-3)

Soluzione

Come prima cosa disegno un sistema di riferimento cartesiano.

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-6) -- (0,6); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw (-0.2,-4) -- (0.2,-4); \draw (-0.2,-5) -- (0.2,-5); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,6.5) {$y$}; \end{tikzpicture}$

Ricordo che l’asse delle si chiama asse delle ascisse mentre l’asse è l’asse delle ordinate.

Partiamo disegnando il punto : questo punto ha e . Questo significa che mi devo spostare sull’asse delle di , ossia di tre unità a sinistra dello zero, e sull’asse delle di , ossia di quattro unità sotto lo zero.

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-6) -- (0,6); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw (-0.2,-4) -- (0.2,-4); \draw (-0.2,-5) -- (0.2,-5); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,6.5) {$y$}; \draw[fill=green] (-3,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-4) circle (0.1cm); \end{tikzpicture}$

Alla fine basta "collegare" i puntini verdi per trovare il punto richiesto.

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-6) -- (0,6); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw (-0.2,-4) -- (0.2,-4); \draw (-0.2,-5) -- (0.2,-5); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,6.5) {$y$}; \draw[fill=green] (-3,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-4) circle (0.1cm); \draw [dashed] (-3,0) -- (-3,-4); \draw [dashed] (0,-4) -- (-3,-4); \draw[fill = red] (-3,-4) circle (0.1cm); \node[red] at (-3.5,-4.5) {$A(-3;-4)$}; \end{tikzpicture}$

Analogamente per i punti :

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-6) -- (0,6); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw (-0.2,-4) -- (0.2,-4); \draw (-0.2,-5) -- (0.2,-5); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,6.5) {$y$}; \draw[fill=green] (-3,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-4) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (-2,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-1) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (2,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,3) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (1,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-3) circle (0.1cm); \draw [dashed] (-3,0) -- (-3,-4); \draw [dashed] (0,-4) -- (-3,-4); \draw [dashed] (-2,0) -- (-2,-1); \draw [dashed] (0,-1) -- (-2,-1); \draw [dashed] (1,0) -- (1,-3); \draw [dashed] (0,-3) -- (1,-3); \draw [dashed] (2,0) -- (2,3); \draw [dashed] (0,3) -- (2,3); \draw[fill = red] (-3,-4) circle (0.1cm); \node[red] at (-3.5,-4.5) {$A(-3;-4)$}; \draw[fill = red] (-2,-1) circle (0.1cm); \node[red] at (-2,-1.5) {$C(-2;-1)$}; \draw[fill = red] (1,-3) circle (0.1cm); \node[red] at (1.5,-3.5) {$F(1;-3)$}; \draw[fill = red] (2,3) circle (0.1cm); \node[red] at (2.5,3.5) {$E(2;3)$}; \end{tikzpicture}$

Disegniamo ora invece il punto . In questo caso dobbiamo spostarci di quattro unità a sinistra dello zero sull’asse delle in quanto il punto ha , e non dobbiamo spostarci in alto o in basso sull’asse delle in quanto il punto ha . Ragionamento analogo per il punto : non ci spostiamo nè a destra nè a sinistra dello zero sull’asse delle in quanto il punto ha , ma ci spostiamo verso l’alto di cinque unità sull’asse delle in quanto il punto ha .

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-6) -- (0,6); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw (-0.2,-4) -- (0.2,-4); \draw (-0.2,-5) -- (0.2,-5); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,6.5) {$y$}; \draw[fill=green] (-3,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-4) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (-2,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-1) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (2,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,3) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (1,0) circle (0.1cm); \draw[fill=green] (0,-3) circle (0.1cm); \draw [dashed] (-3,0) -- (-3,-4); \draw [dashed] (0,-4) -- (-3,-4); \draw [dashed] (-2,0) -- (-2,-1); \draw [dashed] (0,-1) -- (-2,-1); \draw [dashed] (1,0) -- (1,-3); \draw [dashed] (0,-3) -- (1,-3); \draw [dashed] (2,0) -- (2,3); \draw [dashed] (0,3) -- (2,3); \draw[fill = red] (-3,-4) circle (0.1cm); \node[red] at (-3.5,-4.5) {$A(-3;-4)$}; \draw[fill = red] (-2,-1) circle (0.1cm); \node[red] at (-2,-1.5) {$C(-2;-1)$}; \draw[fill = red] (1,-3) circle (0.1cm); \node[red] at (1.5,-3.5) {$F(1;-3)$}; \draw[fill = red] (2,3) circle (0.1cm); \node[red] at (2.5,3.5) {$E(2;3)$}; \draw[fill = red] (0,5) circle (0.1cm); \node[red] at (0.8,5) {$D(0;5)$}; \draw[fill = red] (-4,0) circle (0.1cm); \node[red] at (-4,0.5) {$B(-4;0)$}; \end{tikzpicture}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#grafico #intervalli

Rappresenta nel piano cartesiano gli insiemi di punti le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni.

$\begin{cases} -2 \leq x \leq 3 \\ -3 \leq y < 0 \end{cases}$

Soluzione

Come prima cosa disegno un sistema di riferimento cartesiano.

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw [->] (0,-4) -- (0,4); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \node at (4.5,0) {$x$}; \node at (0,4.5) {$y$}; \end{tikzpicture}$

Ricordo che l’asse delle si chiama asse delle ascisse mentre l’asse è l’asse delle ordinate.

Disegno la prima condizione $-2 \leq x \leq 3$ . Una volta che individuo gli estremi e non devo fare altro che prendere tutto lo "spazio" compreso fra questi due numeri (estremi inclusi).

$\begin{tikzpicture} \shade[top color=red!40!white, bottom color = red!40!white, middle color = red] (-2,4) rectangle (3,-4); \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw [->] (0,-4) -- (0,4); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw[red,thick] (-2,-4) -- (-2,4); \draw[red,thick] (3,-4) -- (3,4); \node at (4.5,0) {$x$}; \node at (0,4.5) {$y$}; \end{tikzpicture}$

Disegno la seconda condizione $-3 \leq y < 0$ . Una volta che individuo gli estremi e non devo fare altro che prendere tutto lo "spazio" compreso fra questi due numeri ( incluso mentre zero no).

$\begin{tikzpicture} \shade[top color=green!40!white, bottom color = green!40!white, middle color = green] (-4,0) rectangle (4,-3); \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw [->] (0,-4) -- (0,4); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw[green,thick, dashed] (-4,0) -- (4,0); \draw[green,thick] (-4,-3) -- (4,-3); \node at (4.5,0) {$x$}; \node at (0,4.5) {$y$}; \end{tikzpicture}$

Devo infine prendere l’intersezione di queste due strisce di piano, ossia quella parte di piano cartesiano dove ci sono entrambe le strisce. I punti le cui coordinate soddisfano le condizioni

$\begin{cases} -2 \leq x \leq 3 \\ -3 \leq y < 0 \end{cases}$

sono quelli colorati in giallo qui sotto. Per chiarezza, i bordi sono indicati in viola (per capire se gli estremi sono inclusi o no).

$\begin{tikzpicture} \shade[top color=yellow!40!white, bottom color = yellow!40!white, middle color = yellow] (-2,0) rectangle (3,-3); \draw[->] (-4,0) -- (4,0); \draw [->] (0,-4) -- (0,4); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \draw (-0.2,-2) -- (0.2,-2); \draw (-0.2,-3) -- (0.2,-3); \draw[violet,ultra thick, dashed] (-2,0) -- (3,0); \draw[violet,ultra thick] (-2,-3) -- (3,-3); \draw[violet,ultra thick] (-2,-3) -- (-2,0); \draw[violet,ultra thick] (3,0) -- (3,-3); \node at (4.5,0) {$x$}; \node at (0,4.5) {$y$}; \end{tikzpicture}$

Esercizio 4

Difficoltà:

#triangolo #isoscele

Stabilisci se il triangolo di vertici è isoscele.

Soluzione

Come prima cosa mi disegno i tre punti in un sistema di riferimento cartesiano: non è richiesto dall’esercizio, ma sono sempre dell’idea che visualizzare aiuta.

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-6,0) -- (5,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,7); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-3,-0.2) -- (-3,0.2); \draw (-4,-0.2) -- (-4,0.2); \draw (-5,-0.2) -- (-5,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \draw (-0.2,5) -- (0.2,5); \draw (-0.2,6) -- (0.2,6); \draw (-0.2,-1) -- (0.2,-1); \node at (5.5,0) {$x$}; \node at (0,7.5) {$y$}; \draw[fill=red] (-5,6) circle (0.07cm); \draw[fill=red] (-1,4) circle (0.07cm); \draw[fill=red] (4,-1) circle (0.07cm); \draw (-5,6) -- (-1,4); \draw (-5,6) -- (4,-1); \draw (-1,4) -- (4,-1); \node[red] at (-5,6.5) {$A$}; \node[red] at (-1,4.5) {$B$}; \node[red] at (4,-1.5) {$C$}; \end{tikzpicture}$

Per stabilire se il triangolo è isoscele devo verificare se ha due lati della stessa lunghezza.

Memo: si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.

Devo quindi calcolare la lunghezza dei segmenti $\overline{AB}, \overline{AC}, \overline{BC}$ . Per fare ciò, devo ricordarmi come si calcola la distanza fra due punti nel piano cartesiano.

La distanza fra due punti e è data da

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Nel nostro caso quindi

$\begin{align*} \overline{AB} & = \sqrt{(-1-(-5))^2+(4-(6))^2} \\ & = \sqrt{4^2+(-2)^2} \\ & = \sqrt{16+4} \\ & = \sqrt{20} \\ \overline{AC} & = \sqrt{(4-(-5))^2+(-1-(6))^2} \\ & = \sqrt{9^2+(-7)^2} \\ & = \sqrt{81+49} \\ & = \sqrt{130} \\ \overline{BC} & = \sqrt{(4-(-1))^2+(-1-(4))^2} \\ & = \sqrt{5^2+(-5)^2} \\ & = \sqrt{25+25} \\ & = \sqrt{50} \end{align*}$

I tre lati del triangolo hanno tutti lunghezze differenti, quindi possiamo concludere che il triangolo NON è isoscele.

Esercizio 5

Difficoltà:

#distanza #punti

Individua il punto che ha ordinata uguale all’ascissa ed è equidistante da e .

Soluzione

Come prima cosa ricordo che con ordinate si intende le e con ascisse le . Dire che un punto ha ordinata uguale all’ascissa significa che il punto deve avere coordinata uguale alla coordinata . In altre parole, se chiamo la coordinata del punto (che deve essere uguale alla coordinata ), il punto sarà del tipo .

Devo poi richiedere che la distanza fra questo punto e i punti e sia uguale. Ricordo che la distanza fra due punti e è data da

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Nel nostro caso quindi

$\begin{align*} \overline{PA} & = \sqrt{(-2-t)^2+(2-t)^2} \\ \overline{PB} & = \sqrt{(5-t)^2+(4-t)^2} \end{align*}$

Imponendo $\overline{PA} = \overline{PB}$ , otteniamo

$\begin{align*} \sqrt{(-2-t)^2+(2-t)^2} & = \sqrt{(5-t)^2+(4-t)^2} \\ & \downarrow \\ \text{elevo al} & \; \text{quadrato:} \\ (-2-t)^2+(2-t)^2 & = (5-t)^2+(4-t)^2 \\ 4+t^2+4t+4+t^2-4t & = 25+t^2-10t+16+t^2-8t \\ 8+2t^2 & = 41 +2t^2-18t \\ 18t & = 41-8 \\ 18t & = 33 \\ \frac{18t}{18} & = \frac{33}{18} \\ t & = \frac{33}{18} \end{align*}$

Memo: $(A\pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$ .

Il punto che stavamo cercando ha quindi coordinate $P\left(\frac{33}{18}; \frac{33}{18}\right)$ .

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-3,0) -- (6,0); \draw [->] (0,-1) -- (0,5); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (4,-0.2) -- (4,0.2); \draw (5,-0.2) -- (5,0.2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (-0.2,1) -- (0.2,1); \draw (-0.2,2) -- (0.2,2); \draw (-0.2,3) -- (0.2,3); \draw (-0.2,4) -- (0.2,4); \node at (6.5,0) {$x$}; \node at (0,5.5) {$y$}; \draw[fill=red] (-2,2) circle (0.07cm); \draw[fill=red] (5,4) circle (0.07cm); \draw[fill=red] (33/18,33/18) circle (0.07cm); \node[red] at (-2,2.5) {$A$}; \node[red] at (5,4.5) {$B$}; \node[red] at (33/18,33/18-0.5) {$P$}; \draw (-2,2) -- (5,4); \draw (-2,2) -- (33/18,33/18); \draw (5,4) -- (33/18,33/18); \node[blue, ultra thick] at (0.5,1.9) {$\Huge \mathbb{\times}$}; \node[blue, ultra thick] at (3,2.63) {$\Huge \mathbb{\times}$}; \end{tikzpicture}$