A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulla parabola.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#grafico

Disegna la parabola con la seguente equazione

$y = -3x^2+3$

Soluzione

Come prima cosa notiamo che la parabola ha asse parallelo all’asse $y$ poichè è scritta in forma

$y = ax^2+bx+c$

dove, nel nostro caso, $a=-3,b=0,c=+3$ .

Per disegnare la parabola abbiamo bisogno di trovare il vertice e l’intersezione con gli assi cartesiani.

Per il vertice ricordiamo la formula: $V=\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$

dove $\Delta = b^2-4ac$ .

$\begin{align*} x_V = -\frac{b}{2a} & = -\frac{0}{2(-3)} = 0 \\ y_V = -\frac{\Delta}{4a} & = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{0^2-4(-3)(+3)}{4(-3)} = +3 \end{align*}$

Modo alternativo per trovare il vertice: visto che il vertice è un punto della parabola, le sue coordinate soddisfano l’equazione della parabola. Quindi, una volta che ho trovato la $x_V$ del vertice, posso sostituire questa nell’equazione della parabola per trovare la $y_V$ . Per esempio, nel nostro caso, una volta che troviamo $x_V=0$ , sostituisco questo valore di $x$ nell’equazione $y = -3x^2+3$ trovando

$y_V = -3(0)^2 + 3 = +3$

Passiamo ora all’intersezione con l’asse $x$ . Quest’asse ha equazione $y = 0$ , quindi, poichè intersecare significa mettere a sistema, devo risolvere

$\begin{align*} \begin{cases} y = 0 \\ y = -3x^2+3 \end{cases} \rightarrow -3x^2+3 = 0 \end{align*}$

Portando $x$ a sinistra e tutto il resto a destra ottengo

$-3x^3 = -3$

Divido destra e sinistra per $-3$ per isolare la $x$

$x^2 = +1$

e ottengo come soluzioni $x = \pm 1$ .

Le intersezioni con l’asse $x$ sono quindi $(1;0),(-1;0)$ .

Memo: Le equazioni del tipo $x^2 = K$ con $K\geq 0$ , hanno direttamente soluzione

$x = \pm \sqrt{K}$

Se $K < 0$ , l’equazione è invece impossibile ( $\nexists x \in \mathbb{R}$ ). Infatti, un quadrato è sempre positivo (ossia a sinistra dell’uguale ho qualcosa di maggiore di zero). Mi sto quindi chiedendo quando un numero positivo ( $x^2$ ,a sinistra dell’uguale) è uguale a un numero negativo ( $K$ , a destra dell’uguale), e la risposta è chiaramente mai.

Andiamo ora a vedere le intersezione con l’asse $y$ . Quest’asse ha equazione $x=0$ , quindi devo risolvere il sistema

$\begin{align*} \begin{cases} x = 0 \\ y = -3x^2+3 \end{cases} \rightarrow y = +3 \end{align*}$

L’intersezione con l’asse $y$ è quindi $(0,3)$ .

Possiamo ora disegnare la parabola.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.0544]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-1.5, xmax=1.5, ymin=-1, ymax=4, restrict y to domain=-1:3.5, ytick={3}, xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red,domain=-2:2,semithick]{-3*(x^2)+3}; %\addplot[black]{x+1}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\draw (axis cs:0,3) circle [black, radius=1]; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,3)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(-1,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(1,0)}; \addplot[black] coordinates {(0.2,3.2)} node{$V$}; \addplot[red] coordinates {(-2,0.6)} node{$y=-3x^2+3$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Sostianzialmente devo disegnare i punti trovati e poi collegare i punti.

Esercizio 2

Difficoltà:

#rette #tangenti

Determina l’equazione della parabola con asse di simmetria l’asse , con il vertice di ordinata e passante per il punto . Scrivi poi le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per il punto . Detti e i punti di tangenza, riconosci la natura del quadrilatero e calcolane l’area.

Soluzione

Dal momento che la parabola ha asse di simmetria l’asse , stiamo cercando una parabola del tipo

$y = ax^2+bx+c, \qquad a \neq 0$

In più, visto che l’asse di simmetria deve essere l’asse e il vertice di una parabola appartiene a tale asse, sappiamo già che il vertice appartiene all’asse e quindi avrà . Ci viene poi detto che la coordinata (ordinata) del vertice è uguale a e che la parabola passa per il punto . Ricordiamo la formula del vertice:

$V = \left(-\frac{b}{2a}; - \frac{\Delta}{4a}\right)$

dove $\Delta = b^2-4ac$ . Andiamo quindi ad imporre le tre condizioni al fine di trovare della parabola.

$\begin{align*} & \begin{cases} -\frac{b}{2a} = 0 & \qquad \text{asse y come asse di simmetria}\\ -\frac{b^2-4ac}{4a} = 4 & \qquad \text{ordinata uguale a 4}\\ 0 = a(-2)^2+b(-2)+c & \qquad \text{il punto A appartiene alla parabola} \end{cases} \\ & \begin{cases} -b = 0 \\ -(b^2-4ac)= 4\cdot 4a & \\ 0 = 4a-2b+c & \end{cases}\\ & \begin{cases} b = 0 \\ -(0^2-4ac)= 4\cdot 4a & \\ 0 = 4a-2\cdot 0 +c & \end{cases}\\ & \begin{cases} b = 0 \\ 4ac - 16a = 0 & \\ 0 = 4a +c & \end{cases}\\ & \begin{cases} b = 0 \\ 4a(-4a) - 16a = 0 & \\ c = - 4a & \end{cases}\\ & \begin{cases} b = 0 \\ -16a^2 - 16a = 0 & \\ c = - 4a & \end{cases}\\ & \begin{cases} b = 0 \\ -16a(a+1) = 0 \rightarrow -16a = 0 \vee a +1 = 0\\ c = - 4a & \end{cases} \end{align*}$

Ho quindi trovato due soluzioni per : o , che però escludo subito perchè in quel caso non avrei una parabola, o .

$\begin{align*} \begin{cases} b = 0 \\ a = -1 \\ c = - 4a = -4(-1) = 4 \end{cases} \end{align*}$

La parabola cercata ha quindi equazione

Dobbiamo ora trovare le equazioni delle rette tangenti a passanti per il punto .

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=3, ymin=-2, ymax=5, restrict y to domain=-2:5, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(1,4) (0,4)}; \addplot[] coordinates {(1,-0.5)} node{\small $1$}; \addplot[] coordinates {(2,-0.5)} node{\small $2$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{\small $-1$}; \addplot[] coordinates {(-2,-0.5)} node{\small $-2$}; \addplot[red] coordinates {(1.3,4.2)} node{\small $C$}; \addplot[red] coordinates {(-0.2,4.3)} node{\small $V$}; \addplot[red,domain=-2.7:2.7,semithick]{-x^2+4}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Facendo il disegno notiamo subito che, dal momento che il punto e il vertice della parabola hanno la stessa ordinata, una retta tangente sarà la retta orizzontale . Procediamo comunque con il metodo "classico" per trovare la tangenti a una parabola passanti per un punto esterno.

Scrivo tutte le rette passanti per il punto :

Metto a sistema questo fascio di rette con la mia parabola:

$\begin{align*} \begin{cases} y-4 = m(x-1) \\ y = -x^2+4 \end{cases}\\ \begin{cases} y = mx-m +4 \\ y = -x^2+4 \end{cases} \end{align*}$

Ottengo quindi

$\begin{align*} mx-m+4 & = -x^2+4 \\ x^2+mx-m & = 0 \end{align*}$

Calcolo il delta e lo pongo uguale a zero per la condizione di tangenza:

$\begin{align*} \Delta & = (m)^2-4(1)(-m) \\ & = m^2+4m \\ \Delta & = 0 \rightarrow m^2+4m = 0 \\ & \qquad \; \; \; \; m(m+4) = 0 \end{align*}$

Quindi o oppure .

Se : otteniamo la tangente che ci aspettavamo

$\begin{align*} y-4 & = m(x-1) \\ y-4 & = 0(x-1) \\ y-4 & = 0 \\ y & = 4 \end{align*}$

Se :

$\begin{align*} y-4 & = m(x-1) \\ y-4 & = -4(x-1) \\ y-4 & = -4x+4 \\ y & = -4x+8 \end{align*}$

Per trovare i punti di tangenza, torniamo all’equazione di secondo grado in e sostituiamo gli che abbiamo trovato.

$\begin{align*} x^2+mx-m & = 0 \\ x^2-4x+4 & = 0 \\ (x-2)^2 & = 0 \\ x & = 2 \\ y & = -x^2+4 = -(2)^2+4 = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2+mx-m & = 0 \\ x^2+(0)x+0 & = 0 \\ x^2 & = 0 \\ x & = 0 \\ y & = -x^2+4 = -(0)^2+4 = 4 \end{align*}$

I due punti di tangenza sono quindi e . Disegniamo ciò che abbiamo trovato finora.

$\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-3, xmax=3, ymin=-2, ymax=5, restrict y to domain=-2:5, ytick=none, xtick=none axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(1,4) (0,4) (2,0) (-2,0)}; \addplot[] coordinates {(1,-0.5)} node{\small $1$}; \addplot[] coordinates {(2,-0.5)} node{\small $2$}; \addplot[] coordinates {(-1,-0.5)} node{\small $-1$}; \addplot[] coordinates {(-2,-0.5)} node{\small $-2$}; \addplot[red] coordinates {(1.3,4.2)} node{\small $C$}; \addplot[red] coordinates {(-0.2,4.3)} node{\small $B$}; \addplot[red] coordinates {(2.2,0.5)} node{\small $D$}; \addplot[red] coordinates {(-2.2,0.5)} node{\small $A$}; \addplot[red,domain=-2.7:2.7,semithick]{-x^2+4}; \addplot[red,domain=-2.7:2.7,semithick, dashed]{4}; \addplot[red,domain=-2.7:2.7,semithick, dashed]{-4*x+8}; \draw[green, thick] (axis cs:-2,0) -- (axis cs:0,4); \draw[green, thick] (axis cs:0,4) -- (axis cs:1,4); \draw[green, thick] (axis cs:1,4) -- (axis cs:2,0); \draw[green, thick] (axis cs:2,0) -- (axis cs:-2,0); \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Graficamente capiamo subito che il quadrilatero è un trapezio: per dimostrarlo analiticamente dobbiamo dimostrare che due lati non consecutivi sono paralleli. Consideriamo le rette e : poichè sono rette orizzontali, la loro equazione è della forma con numero.

Equazione della retta : .

Equazione della retta : .

Le due rette sono quindi parallele perchè entrambe hanno coefficiente angolare pari a zero.

Ricordiamo come si calcolare l’area di un trapezio:

$\begin{align*} A & = \frac{(B+b)h}{2} \\ & = \frac{(AD+BC)BO}{2} \end{align*}$

dove è l’origine degli assi cartesiani. Andiamo a calcolare le lunghezze.

L’area è quindi pari a

$\begin{align*} A & = \frac{(AD+BC)BO}{2} \\ & = \frac{(4+1)\cdot4}{2} \\ & = 10 \end{align*}$