In questa sezione trovi esercizi svolti sui limiti.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:
#punti #discontinuità

Data la seguente funzione, individua i suoi punti di discontinuità e la relativa specie.

y = \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}}

Soluzione

Come prima cosa stabiliamo le condizioni di esistenza (C.E.) di questa funzione. Poichè abbiamo due frazioni, \frac{|x|}{x} e \frac{1}{x-1}, dobbiamo imporre che esse esistano: dobbiamo cioè escludere che il denominatore si annulli. Quindi

\begin{align*} \text{C.E.:} & \; \begin{cases} x \neq 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases} \\ \text{C.E.:} & \; \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \end{align*}

Abbiamo quindi due punti di discontinuità: x=0 e x=1.

Per poterli classificare dobbiamo andare a calcolare limite destro e sinistro della funzione in quei punti. Prima di procedere, ricordiamo un attimo la definizione di valore assoluto:

|x| = \begin{cases} x & \text{se} \; x \geq 0 \\ -x & \text{se} \; x < 0 \end{cases}

Partiamo con i limiti a zero.

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} \end{align*}

Vediamo subito che l’esponenziale non ha problemi e 2^{\frac{1}{x-1}} \rightarrow 2^{-1} = \frac{1}{2}. Il problema ce l’abbiamo in \frac{|x|}{x} che diventa un \frac{0}{0}. Notiamo però una cosa: se noi riscriviamo la funzione inserendo la definizione di valore assoluto, otteniamo

\begin{align*} y & = \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} \\ & = \begin{cases} \frac{x}{x} \cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & \text{se} \; x \geq 0 \\ \frac{-x}{x} \cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & \text{se} \; x < 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} 2^{\frac{1}{x-1}} & \text{se} \; x \geq 0 \\ -2^{\frac{1}{x-1}} & \text{se} \; x < 0 \end{cases} \end{align*}

Con questa riscrittura vediamo subito che quando facciamo il limite per x che tende a 0^+ siamo nel primo caso della funzione, mentre quando x tende a 0^- siamo nel secondo caso. Quindi

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & = \lim_{x\rightarrow 0^+} 2^{\frac{1}{x-1}} \\ & = 2^{-1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & = \lim_{x\rightarrow 0^-} -2^{\frac{1}{x-1}} \\ & = -2^{-1} \\ & = -\frac{1}{2} \end{align*}

Il punto x=0 è quindi un punto di discontinuità di prima specie, o di salto, poichè limite destro e sinistro sono entrambi finiti e diversi fra loro.

Passiamo ora a x=1.

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 1^+} \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & = \lim_{x\rightarrow 1^+} 2^{\frac{1}{x-1}} \\ & = "2^{\frac{1}{0^+}}" \\ & = "2^{+\infty}" \\ & = + \infty \end{align*}

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 1^-} \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}} & = \lim_{x\rightarrow 1^-} 2^{\frac{1}{x-1}} \\ & = "2^{\frac{1}{0^-}}" \\ & = "2^{-\infty}" \\ & = 0 \end{align*}

Il punto x=1 è quindi un punto di discontinuità di seconda specie poichè uno dei due limiti (quello destro) è infinito.