In questa sezione trovi esercizi svolti sull'iperbole.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
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Esercizio 1

Difficoltà:
#funzione #omografica

Data l’equazione

y=\frac{3ax+b}{x-c}

determina a,c,b \in \mathbb{R} tali che x=2 e y=6 rappresentino due asintoti per la funzione che passa per il punto A(3;14). Disegna la curva così ottenuta.

Soluzione

Come prima cosa notiamo che siamo di fronte a una funzione omografica, ossia un’iperbole equilatera traslata. In generale ha equazione

y = \frac{Ax+B}{Cx+D}

con C \neq 0 e AD-BC \neq 0. Gli asintoti sono dati da

x = -\frac{D}{C}, y = \frac{A}{C}

e il centro di simmetria ha coordinate C\left(-\frac{D}{C};\frac{A}{C}\right).

Andiamo quindi a imporre le condizioni sugli asintoti nel nostro caso. Dato che vogliamo x=2 come asintoto devo avere

-\frac{-c}{1} = 2

ossia c = 2.

Inoltre voglio y = 6 quindi

\frac{3a}{1} = 6

ossia a = \frac{6}{3} = 2.

La nostra funzione per ora è data da

y=\frac{6x+b}{x-2}

Per trovare b dobbiamo imporre l’ultima condizione che ci dice il testo, ossia che la funzione deve passare per il punto A. Vado quindi a imporre che x e y del punto soddisfino l’equazione:

\begin{align*} 14 & = \frac{6(3)+b}{(3)-2} \\ 14 & = \frac{18+b}{1} \\ b+18 & = 14 \\ b & = 14-18 \\ b & = -4 \end{align*}

L’iperbole trovata ha quindi equazione

y=\frac{6x-4}{x-2}

Per disegnarla partiamo disegnando gli asintoti.

\begin{tikzpicture}[scale=1.0544] \begin{axis} [axis lines=middle, axis line style=gray, xtick = {2}, ytick = {6}, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-5) (2,15) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,6) (4.5,6) }; \end{axis} \end{tikzpicture}

Per capire in quali quadranti sta l’iperbole, o ci ricordiamo le formule per i fuochi, oppure inseriamo una qualsiasi x nell’equazione e calcoliamo la y. Se infatti mettiamo x=0 otteniamo y=2, quindi il punto (0;2) appartiene all’iperbole.

\begin{tikzpicture}[scale=1.0544] \begin{axis} [axis lines=middle, axis line style=gray, xtick = {2}, ytick = {2,6}, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-5) (2,15) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-2,6) (4.5,6) }; \addplot[red, mark=*, only marks] coordinates {(0,2)}; \end{axis} \end{tikzpicture}

L’iperbole quindi sta nel primo e terzo quadrante. Il suo grafico è

\begin{tikzpicture}[scale=1.0544] \begin{axis} [axis lines=middle, axis line style=gray, enlarge x limits, xtick =none, ytick = none, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot [domain=-1:1.9,samples=200,smooth, thick,red] {(6*x-4)/(x-2)}; \addplot [domain=2.1:4.5,samples=200,smooth, thick,red] {(6*x-4)/(x-2)}; \addplot[black,dashed] coordinates { (2,-80) (2,100) }; \addplot[black,dashed] coordinates { (-1,6) (4.5,6) }; \addplot[red] coordinates {(3,-20)} node{$y=\frac{6x-4}{x-2}$}; \end{axis} \end{tikzpicture}