A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti su equazioni con valori assoluti.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#un #modulo

Risolvi la seguente equazione che contiene valori assoluti:

$\biggl| 3x + \frac{5}{2}\biggl| = 7x-\frac{1}{2}$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definione generale di valore assoluto:

$\begin{align*} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.

Esempi in breve:

$\begin{align*} |5x+1| & = \begin{cases} 5x+1 & \text{se} \ 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se} \ 5x-1 < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |-x^3+2x| & = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se} \ -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se} \ -x^3+2x < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |e^x-2x^2+\sin(x)| & = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c’è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.

Visto che il valore assoluto è definito per casi, il caso in cui l’argomento è positivo e il caso in cui l’argomento è negativo, anche le equazioni col valore assoluto si risolvono per casi. In particolare, nel nostro esempio il valore assoluto diventa

$\begin{align*} \biggl|3x+\frac{5}{2}\biggl| & = \begin{cases} 3x+\frac{5}{2} & \text{se} \ 3x+\frac{5}{2} \geq 0 \\ -3x-\frac{5}{2} & \text{se} \ 3x+\frac{5}{2} < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’equazione di partenza si divide quindi in due equazioni, a seconda di come è definito il valore assoluto.

Caso 1: $3x+\frac{5}{2}\geq 0$

Nell’intervallo $3x+\frac{5}{2}\geq 0$ , ossia $3x\geq -\frac{5}{2}$ , ossia $x \geq - \frac{5}{6}$ , il valore assoluto è uguale a $3x+\frac{5}{2}$ . L’equazione quindi diventa

$3x + \frac{5}{2} = 7x-\frac{1}{2}$

Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:

$3x -7x = -\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$

Sommo gli elementi e ottengo

$-4x = \frac{-5-1}{2} = - \frac{6}{2} = -3$

Divido sia a destra che a sinistra per $-4$ in modo da isolare la $x$ :

$x = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo $x \geq -\frac{5}{6}$ , perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi controllare che $x = \frac{3}{4}$ appartenga a questo intervallo.

$\begin{tikzpicture} \draw [->](0,0) -- (4,0); \draw[dashed](-4,0) -- (0,0); \draw (0,-0.2) -- (0,0.2); \node at (0,-0.5) {$-\frac{5}{6}$}; \node at (2,-0.5) {$\frac{3}{4}$}; \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \fill[red] (2,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Visto che $x = \frac{3}{4}$ appartiene all’intervallo $x \geq -\frac{5}{6}$ , $x = \frac{3}{4}$ è una soluzione.

Caso 2: $3x+\frac{5}{2} < 0$

Nell’intervallo $3x+\frac{5}{2}< 0$ , ossia $3x< -\frac{5}{2}$ , ossia $x < - \frac{5}{6}$ , il valore assoluto è uguale a $-3x-\frac{5}{2}$ . L’equazione quindi diventa

$-3x - \frac{5}{2} = 7x-\frac{1}{2}$

Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:

$-3x -7x = +\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$

Sommo gli elementi e ottengo

$-10x = \frac{+5-1}{2} = \frac{4}{2} = +2$

Divido sia a destra che a sinistra per $-10$ in modo da isolare la $x$ :

$x = \frac{+2}{-10} = - \frac{1}{5}$

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo $x < -\frac{5}{6}$ , perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi controllare che $x = -\frac{1}{5}$ appartenga a questo intervallo.

Parentesi: in questi casi mi viene sempre chiesto "ma come faccio a sapere se è più piccolo $-\frac{1}{5}$ o $-\frac{5}{6}$ ?". Basta trasformare le due frazioni in frazioni equivalenti che hanno lo stesso denominatore. In questo caso i denominatori delle due frazioni sono 5 e 6, quindi il mcm (minimo comunque multiplo) è 30. Quindi

$-\frac{1}{5} = -\frac{6}{30}$

$-\frac{5}{6} = -\frac{25}{30}$

Quindi adesso so che $-\frac{25}{30} < -\frac{6}{30}$ (occhio che i numeri sono negativi!), quindi $-\frac{5}{6} < -\frac{1}{5}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw [->,dashed](0,0) -- (4,0); \draw(-4,0) -- (0,0); \draw (0,0)circle[radius=0.07cm]; \draw (0,-0.2) -- (0,0.2); \node at (0,-0.5) {$-\frac{5}{6}$}; \node at (1,-0.5) {$-\frac{1}{5}$}; \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \fill[red] (1,0) circle (2pt); \end{tikzpicture}$

Visto che $x = -\frac{1}{5}$ NON appartiene all’intervallo $x < -\frac{5}{6}$ , $x = -\frac{1}{5}$ NON è una soluzione accettabile.

La soluzione finale dell’esercizio è quindi solo

$x = \frac{3}{4}$