In questa sezione trovi esercizi svolti sulle equazioni con seno e coseno.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:
#equazione #elementare

Risolvi la seguente equazione

2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-1 = 0

Soluzione

Come prima cosa devo isolare il termine con il seno; porto quindi l’uno a destra e divido tutto per due.

\begin{align*} 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-1 & = 0 \\ 2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) & = 1 \\ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{1}{2} \end{align*}

Sono quindi arrivata a un’equazione della forma \sin(\alpha) = h, dove \alpha = x- \frac{\pi}{3} e h = \frac{1}{2}. Ricordiamo che

\sin(\alpha) = h \qquad \begin{cases} \text{determinata se} & -1 \leq h \leq 1 \\ \text{impossibile se} & h < -1 \vee h > 1 \end{cases}

Dato che h = \frac{1}{2} è compreso fra -1 e 1, l’equazione è determinata, ossia ha soluzione. Sostanzialmente ci stanno chiedendo qual è quell’angolo \alpha che ha seno uguale a \frac{1}{2}.

Memo: Circonferenza goniometrica

\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.3) {1}; \node at (-1.2,-0.3) {-1}; \node at (0.3,1.2) {1}; \node at (0.3,-1.2) {-1}; \draw (0,0) -- (1.73205080757/1.2,1/1.2); \draw [red,thick] (1.73205080757/2,0) -- (1.73205080757/2,0.5); \draw [green,thick] (0,0) -- (1.73205080757/2,0); \node [green] at (0.5,-0.3) {\tiny $\cos(\alpha)$}; \node [red] at (1.5,0.3) {\tiny $\sin(\alpha)$}; \node at (0.35,0.1) {\tiny $\alpha$}; \end{tikzpicture}

L’angolo che ha seno uguale a \frac{1}{2} è \frac{\pi}{6} e \frac{5}{6}\pi, ossia \sin\left( \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left( \frac{5}{6}\pi\right) = \frac{1}{2}. Nel nostro caso quindi otteniamo

\alpha = x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}

oppure

\alpha = x - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{6}\pi

Ricordiamo però che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche: ciò significa che ogni 360°, ossia 2\pi, sono di nuovo nello stesso punto della circonferenza goniometrica. Le soluzioni sono quindi

\begin{align*} x - \frac{\pi}{3} & = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \\ x & = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & = \frac{3}{6}\pi + 2k\pi \\ & = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi \end{align*}

oppure

\begin{align*} x - \frac{\pi}{3} & = \frac{5}{6}\pi + 2k\pi \\ x & = \frac{5}{6}\pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \\ & = \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \end{align*}

Esercizio 2

Difficoltà:
#equazione #elementare

Risolvi la seguente equazione

\cos(3x) = -1 - \cos(3x)

Soluzione

Come prima cosa devo isolare il termine con il coseno:

\begin{align*} \cos(3x) & = -1 - \cos(3x) \\ \cos(3x) + \cos(3x) & = -1 \\ 2\cos(3x) & = -1 \\ \cos(3x) & = -\frac{1}{2} \end{align*}

Sono quindi arrivata a un’equazione della forma \cos(\alpha) = h, dove \alpha = 3x e h = -\frac{1}{2}. Ricordiamo che

\cos(\alpha) = h \qquad \begin{cases} \text{determinata se} & -1 \leq h \leq 1 \\ \text{impossibile se} & h < -1 \vee h > 1 \end{cases}

Dato che h = -\frac{1}{2} è compreso fra -1 e 1, l’equazione è determinata, ossia ha soluzione. Sostanzialmente ci stanno chiedendo qual è quell’angolo \alpha che ha coseno uguale a -\frac{1}{2}.

Memo: Circonferenza goniometrica

\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.3) {1}; \node at (-1.2,-0.3) {-1}; \node at (0.3,1.2) {1}; \node at (0.3,-1.2) {-1}; \draw (0,0) -- (1.73205080757/1.2,1/1.2); \draw [red,thick] (1.73205080757/2,0) -- (1.73205080757/2,0.5); \draw [green,thick] (0,0) -- (1.73205080757/2,0); \node [green] at (0.5,-0.3) {\tiny $\cos(\alpha)$}; \node [red] at (1.5,0.3) {\tiny $\sin(\alpha)$}; \node at (0.35,0.1) {\tiny $\alpha$}; \end{tikzpicture}

L’angolo che ha coseno uguale a -\frac{1}{2} è \frac{2}{3}\pi e -\frac{2}{3}\pi, ossia \cos \left( \frac{2}{3}\pi\right) = \cos\left( -\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}. Nel nostro caso quindi otteniamo

\alpha = 3x = \frac{2}{3}\pi

oppure

\alpha = 3x = -\frac{2}{3}\pi

Ricordiamo però che le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche: ciò significa che ogni 360°, ossia 2\pi, sono di nuovo nello stesso punto della circonferenza goniometrica. Le soluzioni sono quindi

\begin{align*} 3x & = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi \\ x & = \frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}k\pi \end{align*}

oppure

\begin{align*} 3x & = -\frac{2}{3}\pi + 2k\pi \\ x & = -\frac{2}{9}\pi + \frac{2}{3}k\pi \end{align*}