In questa sezione trovi esercizi svolti sulle equazioni irrazionali.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
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Esercizio 1

Difficoltà:
#radici #sistemi

Risolvi la seguente equazione irrazionale

3-4x-\sqrt{x^2-1} = 4-3x

Soluzione

Come prima cosa isoliamo la radice a sinistra dell’uguaglianza e portiamo a destra tutto il resto, ricordandoci di cambiare segno quando spostiamo gli elementi da una parte all’altra dell’uguale.

\begin{align*} -\sqrt{x^2-1} & = 4-3x-3+4x \\ -\sqrt{x^2-1} & = x+1 \end{align*}

Moltiplico infine tutto per -1:

\begin{align*} (-1)(-\sqrt{x^2-1}) & = (x+1)(-1) \\ \sqrt{x^2-1}& = -x-1 \end{align*}

Dato che l’indice della radice è pari, l’equazione è equivalente al sistema

\begin{cases} x^2-1 \geq 0 \\ -x-1 \geq 0 \\ x^2-1 = (-x-1)^2 \end{cases}

Sostanzialmente dobbiamo porre l’argomento della radice e il termine destro dell’uguaglianza maggiori di zero e poi possiamo elevare tutto al quadrato, mettendo le tre condizioni a sistema.

La prima disuguaglianza diventa

\begin{align*} x^2-1 & \geq 0 \\ x^2 & \geq 1 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata}\\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ & \downarrow \\ \text{avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni} \\ x \leq -1 & \cup x \geq 1 \end{align*}

La seconda disuguaglianza diventa

\begin{align*} -x-1 & \geq 0 \\ -x & \geq 1 \\ (-1)(-x) & \leq 1(-1) \\ x & \leq -1 \end{align*}

dove nel penultimo passaggio ho cambiato il verso della disuguaglianza perchè ho moltiplicato per un numero negativo.

La terza equazione diventa

\begin{align*} x^2-1 & = (-x-1)^2 \\ x^2-1 & = (-(x+1))^2 \\ x^2-1 & = (-)^2 \cdot (x+1)^2 \\ x^2-1 & = x^2+1+2x \\ x^2-1-x^2-1-2x & = 0 \\ -2x-2 & = 0 \\ -2x & = 2 \\ \frac{-2x}{-2} & = \frac{2}{-2} \\ x & = -1 \end{align*}

dove nel quarto passaggio ho utilizzato la formula di sviluppo di binomio (A\pm B)^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB e con (-)^2 si intende meno per meno, ossia più.

Il sistema diventa quindi

\begin{cases} x \leq -1 \cup x \geq 1\\ x \leq -1 \\ x = -1 \end{cases}

\begin{tikzpicture} \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,3); \draw (1,-0.2)--(1,3); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (1,-0.5) {$1$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $x=-1$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $x\leq -1$}; \node at (-3.3,2.5) {\scriptsize $x\leq -1 \cup x \geq 1$}; \draw[fill=black] (-1,0.5) circle (0.1cm); \draw[fill=black] (-1,1.5) circle (0.1cm); \draw[fill=black] (-1,2.5) circle (0.1cm); \draw[fill=black] (1,2.5) circle (0.1cm); \draw (-1,2.5) -- (-2,2.5); \draw (-1,1.5) -- (-2,1.5); \draw (1,2.5) -- (2,2.5); \end{tikzpicture}

Poichè abbiamo un sistema, dobbiamo scegliere le soluzioni comuni a tutte le equazioni, se ci sono. In questo caso l’unica soluzione presente in tutti e tre i casi è

x=-1

che è quindi soluzione finale dell’equazione iniziale.