A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sull'ellisse.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#ellisse #retta

Data l’ellisse di equazione $x^2+4y^2 = 16$ , trova la lunghezza della corda individuata sulla retta di equazione $x-2y+4=0$ .

Soluzione

Come prima cosa riscriviamo l’equazione dell’ellisse dividendo tutto per $16$ :

$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$

Giusto per farci un’idea, facciamo un disegno: non è richiesto dall’esercizio, ma visualizzare fa sempre bene.

Ricordiamo l’equazione generale dell’ellisse:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Per disegnarla mi servono soltanto $a$ e $b$ . Nel nostro caso, $a = \sqrt{16} = 4$ e $b = \sqrt{4} = 2$ .

Per disegnare invece la retta, basta che trovo due suoi punti: con $x=0$ ottengo $0-2y+4=0 \rightarrow y = 2$ quindi il punto $(0;2)$ , mentre con $x=2$ ottengo $2-2y+4=0 \rightarrow y = 3$ quindi il punto $(2;3)$ .

$\begin{tikzpicture}[scale=1.02]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-4, xmax=4, ymin=-3, ymax=3, restrict y to domain=-3:3, %ytick={3}, %xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red,domain=-4:4,semithick]{(1/2)*((16-(x^2))^(1/2))}; \addplot[red,domain=-4:4,semithick]{-(1/2)*((16-(x^2))^(1/2))}; \addplot[green,domain=-5:4,semithick]{(x+4)/2}; %\shade [shading=ellipse] (0,0) ellipse [x radius=2cm,y radius=1cm]; %\addplot[black]{x+1}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\draw (axis cs:0,3) circle [black, radius=1]; \addplot[black,mark=*] coordinates {(-4,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(4,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,2)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,-2)}; \addplot[red] coordinates {(2,-2.3)} node{$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$}; \addplot[green] coordinates {(2,2.4)} node{$y=\frac{x+4}{2}$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Per trovare la lunghezza della corda individuata sulla retta, dobbiamo trovare i punti di intersezione fra la retta e l’ellisse e poi calcolare la distanza fra questi punti. Facendo il grafico i punti di intersezione sono chiari, ma andiamo a calcolarli come ci richiede l’esercizio.

Dobbiamo mettere a sistema l’ellisse con la retta:

$\begin{align*} \begin{cases} x^2+4y^2 = 16 \\ y = \frac{x+4}{2} \end{cases} \end{align*}$

Sostituisco $y$ nell’equazione dell’ellisse e ottengo

$x^2 + 4 \left(\frac{x+4}{2}\right)^2 = 16$

Svolgo i conti:

$\begin{align*} x^2+4 \cdot \frac{(x+4)^2}{4} & = 16 \\ x^2 + x^2+16+8x & = 16 \\ 2x^2 + 8x +16 - 16 & = 0 \\ 2x(x+4) & = 0 \\ \frac{2x(x+4)}{2} & = \frac{0}{2} \\ x(x+4) & = 0 \end{align*}$

Quindi, per la legge dell’annullamento del prodotto (un prodotto è zero se e solo se uno dei due termini è zero), ho che le soluzioni sono

$x = 0 \qquad \vee \qquad x+4=0 \rightarrow x = -4$

Con $x=0$ ottengo $y = \frac{0+4}{2} = 2$ , ossia il punto $(0;2)$ che chiamo A.

Con $x=-4$ ottengo $y = \frac{-4+4}{2} = 0$ , ossia il punto $(-4;0)$ che chiamo B.

Devo ora calcolare la distanza fra questi due punti. Ricordo che la distanza fra due punti $A(x_A;y_A)$ e $B(x_B;y_B)$ è calcolata come

$d = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

Nel nostro caso,

$\begin{align*} d & = \sqrt{(-4-0)^2+(0-2)^2} \\ & = \sqrt{16+4} \\ & = \sqrt{20} \\ & = \sqrt{4\cdot 5} \\ & = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} \\ & = 2\sqrt{5} \end{align*}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#ellisse #fondamentali

Data l’equazione dell’ellisse determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’eccentricità e reppresenta la curva graficamente.

x^2+9y^2 = 36

Soluzione

Come prima cosa riscrivo l’equazione in forma canonica, ossia del tipo $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ : per fare ciò, devo dividere destra e sinistra per .

$\begin{align*} x^2+9y^2 & = 36 \\ \frac{1}{36} \cdot (x^2+9y^2) & = 36 \cdot \frac{1}{36} \\ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} & = 1 \end{align*}$

Avendola scritta in forma canonica ho subito che

$\begin{align*} a^2 = 36 & \rightarrow a = 6 \; \; \text{(semiasse maggiore)} \\ b^2 = 4 & \rightarrow b = 2 \; \; \text{(semiasse minore)} \end{align*}$

Dato che , l’ellisse ha i fuochi sull’asse .

Le coordinate dei vertici diventano quindi

$\begin{align*} A(-a,0) & \rightarrow A(-6,0) \\ B(a,0) & \rightarrow B(6,0) \\ C(0,-b) & \rightarrow C(0,-2) \\ D(0,b) & \rightarrow D(0,2) \end{align*}$

Per calcolare i fuochi e l’eccentricità ho bisogno di sapere , che posso trovare tramite la formula :

$c = \sqrt{36-4} = \sqrt{32} = \sqrt{2^4\cdot 2} = \sqrt {2^4} \cdot \sqrt{2} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Le coordinate dei fuochi sono quindi

$\begin{align*} F_1(-c,0) & \rightarrow F_1(-4\sqrt{2},0) \\ F_2(c,0) & \rightarrow F_2(4\sqrt{2},0) \\ \end{align*}$

e l’eccentricità

$e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Conoscendo la misura dei semiassi, possiamo rappresentarla graficamente:

$\begin{tikzpicture}[scale=1.02]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-7, xmax=7, ymin=-3, ymax=3, restrict y to domain=-3:3, %ytick={3}, %xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red,domain=-6:6,semithick]{(((1/9)*(36-(x^2)))^(1/2))}; \addplot[red,domain=-6:6,semithick]{-(((1/9)*(36-(x^2)))^(1/2))}; %\addplot[green,domain=-5:4,semithick]{(x+4)/2}; %\shade [shading=ellipse] (0,0) ellipse [x radius=2cm,y radius=1cm]; %\addplot[black]{x+1}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\draw (axis cs:0,3) circle [black, radius=1]; \addplot[black,mark=*] coordinates {(-6,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(6,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,2)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,-2)}; \addplot[red] coordinates {(-6.3,0.5)} node{$A$}; \addplot[red] coordinates {(6.3,0.5)} node{$B$}; \addplot[red] coordinates {(0.4,-2.5)} node{$C$}; \addplot[red] coordinates {(0.4,2.5)} node{$D$}; %\addplot[green] coordinates {(2,2.4)} node{$y=\frac{x+4}{2}$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#ellisse #tangenti

Scrivi le equazioni delle tangenti all’ellisse di equazione condotte dal punto $P\left(3;\frac{3}{2}\right)$ .

Soluzione

Come prima cosa scrivo tutte le rette che passano per il punto . Ricordo che il fascio di tutte le rette che passano per un generico punto è dato da

Nel nostro caso e $y_0 = \frac{3}{2}$ . Tutte le rette che passano per hanno quindi equazione

$y - \frac{3}{2} = m (x-3)$

Per trovare le rette tangenti devo quindi trovare quell’ che mi garantisce la condizione di tangenza. Come si fa?

Intanto interseco tutte queste rette con l’ellisse:

$\begin{align*} & \begin{cases} y - \frac{3}{2} = m (x-3) \\ x^2+2y^2=9 \end{cases} \\ & \begin{cases} y = mx - 3m + \frac{3}{2} \\ x^2+2y^2=9 \end{cases} \\ & \begin{cases} y = mx-3m+\frac{3}{2} \\ x^2+2\left(mx-3m+\frac{3}{2}\right)^2=9 \end{cases} \end{align*}$

Sistemo solo la seconda equazione:

$\begin{align*} x^2+2\left(mx-3m+\frac{3}{2}\right)^2& =9 \\ x^2 +2\left(m^2x^2-3m^2x+\frac{3}{2}mx-3m^2x+9m^2-\frac{9}{2}m+\frac{3}{2}mx-\frac{9}{2}m+\frac{9}{4}\right)& = 9 \\ x^2+2\left(m^2x^2-6m^2x+3mx-9m+9m^2+\frac{9}{4}\right) & = 9 \\ x^2 +2m^2x^2-12m^2x+6mx-18m+18m^2+\frac{9}{2}& = 9 \end{align*}$

Mi fermo un attimo perchè di solito a questo punto non si sa più cosa si sta facendo. Qual è la variabile di quell’equazione?

Quella scritta sopra è un’equazione di secondo grado in . Non ci dobbiamo far trarre in inganno per il fatto che c’è : è soltanto un parametro, ossia un numero e come tale lo dobbiamo pensare.

Vado quindi a raccogliere i termini in :

$\begin{align*} x^2 +2m^2x^2-12m^2x+6mx-18m+18m^2+\frac{9}{2}& = 9 \\ x^2 \cdot \underbrace{(1+2m^2)}_{a} + x \cdot \underbrace{(-12m^2+6m)}_{b} -\underbrace{18m+18m^2+\frac{9}{2} - 9}_{c} & = 0 \end{align*}$

Avevamo detto che volevamo l’ che ci garantisse la tangenza. Ciò si ottiene ponendo il $\Delta$ di questa equazione di secondo grado uguale a zero.

$\begin{align*} \Delta & = b^2 - 4ac \\ & = (-12m^2+6m)^2 - 4 (1+2m^2)\left(-18m+18m^2-\frac{9}{2}\right) \\ & = 144m^4+36m^2-144m^3-4\left(-18m+18m^2-\frac{9}{2}-36m^3+36m^4-9m^2\right)\\ & = 144m^4+36m^2-144m^3+72m-72m^2+18+144m^3-144m^4+36m^2 \\ & = 72m+18 \end{align*}$

Ponendo $\Delta = 0$ si ottiene un’equazione in (e qui è proprio la variabile che vogliamo trovare).

$\begin{align*} \Delta & = 0 \\ 72m+18 & = 0 \\ 72m & = -18 \\ \frac{72m}{72} & = \frac{-18}{72} \\ m & = -\frac{1}{4} \end{align*}$

Una retta di tangenza l’abbiamo quindi trovata: metto l’ che ho appena trovato nel fascio e ho la retta.

$\begin{align*} y - \frac{3}{2} & = m (x-3) \\ y - \frac{3}{2} & =-\frac{1}{4}(x-3) \\ y & = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \\ y & = -\frac{1}{4}x + \frac{3+6}{4} \\ y & = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \end{align*}$

Perchè ho trovato solo una retta di tangenza e non due?

Calcolando tutte le rette che passano per , gli unici che non riesco a trovare sono quelli delle rette verticali (ricordo che nelle rette verticali non si può definire ).

Grafico quello che ho trovato fino ad adesso.

$\begin{tikzpicture}[scale=1.02]\small \begin{axis}[axis line style=gray, samples=120, width=9.0cm,height=6.4cm, xmin=-4, xmax=4, ymin=-3, ymax=3, restrict y to domain=-3:3, %ytick={3}, %xtick={-1,1}, axis equal, axis x line=center, axis y line=center, xlabel=$x$,ylabel=$y$] \addplot[red,domain=-4:4,semithick]{(((1/2)*(9-(x^2)))^(1/2))}; \addplot[red,domain=-4:4,semithick]{-(((1/2)*(9-(x^2)))^(1/2))}; \addplot[green,domain=-4:4,semithick]{-1/4*x+9/4}; \addplot +[green,mark=none] coordinates {(3, -2.5) (3, 3)}; %\addplot[green,domain=-5:4,semithick]{(x+4)/2}; %\shade [shading=ellipse] (0,0) ellipse [x radius=2cm,y radius=1cm]; %\addplot[black]{x+1}; %\addplot[] coordinates {(1,1.5)} node{$y=x+1$}; %\draw (axis cs:0,3) circle [black, radius=1]; \addplot[black,mark=*] coordinates {(-3,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(3,0)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,2.12132034356)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(0,-2.12132034356)}; \addplot[black,mark=*] coordinates {(3,3/2)}; \addplot[red] coordinates {(3.4,3/2)} node{$P$}; %\addplot[green] coordinates {(2,2.4)} node{$y=\frac{x+4}{2}$}; \path (axis cs:0,0) node [anchor=north west,yshift=-0.07cm] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture}$

Visto che il punto è esterno all’ellisse, mi rendo subito conto che la seconda retta di tangenza ha equazione

ossia , dove è la coordinata del punto .

Le due rette tangenti hanno quindi equazione e $y & = -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4}$ .