A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni con valori assoluti.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#valore #assoluto

Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:

$\biggl| -3 + \frac{1}{2}x\biggl| > 2x-\frac{5}{2}$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definione generale di valore assoluto:

$\begin{align*} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.

Esempi in breve:

$\begin{align*} |5x+1| & = \begin{cases} 5x+1 & \text{se} \ 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se} \ 5x-1 < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |-x^3+2x| & = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se} \ -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se} \ -x^3+2x < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |e^x-2x^2+\sin(x)| & = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c’è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.

Visto che il valore assoluto è definito per casi, il caso in cui l’argomento è positivo e il caso in cui l’argomento è negativo, anche le disequazioni col valore assoluto si risolvono per casi. In particolare, nel nostro esempio il valore assoluto diventa

$\begin{align*} \biggl|-3+\frac{1}{2}x\biggl| & = \begin{cases} -3+\frac{1}{2}x & \text{se} \ -3+\frac{1}{2}x \geq 0 \\ +3-\frac{1}{2}x & \text{se} \ -3+\frac{1}{2}x < 0 \end{cases} \end{align*}$

La disequazione di partenza si divide quindi in due disequazioni, a seconda di come è definito il valore assoluto.

Caso 1: $-3+\frac{1}{2}x\geq 0$

Nell’intervallo $-3+\frac{1}{2}x\geq 0$ , ossia $\frac{1}{2}x \geq 3$ , ossia $x \geq 6$ , il valore assoluto è uguale a $-3+\frac{1}{2}x$ . La disequazione quindi diventa

$-3 + \frac{1}{2}x > 2x-\frac{5}{2}$

Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:

$\frac{1}{2}x -2x > -\frac{5}{2}+3$

Sommo gli elementi e ottengo

$\frac{x-4x}{2} > \frac{-5+6}{2}$

$-\frac{3}{2}x > \frac{1}{2}$

Moltiplico sia a destra che a sinistra per $-\frac{2}{3}$ in modo da isolare la $x$ , ricordandomi di cambiare il verso della disuguaglianza perchè sto moltiplicando per un numero negativo:

$x < \frac{1}{2} \cdot \left(- \frac{2}{3}\right) \qquad \rightarrow \qquad x < - \frac{1}{3}$

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo $x \geq 6$ , perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi intersecare le due cose:

$\begin{tikzpicture} \draw [->](-2,0) -- (8,0); \draw (-1/3,-0.2) -- (-1/3,0.2); \node at (-1/3,-0.5) {$-\frac{1}{3}$}; \node at (6,-0.5) {$6$}; \draw (6,-0.2) -- (6,0.2); \fill[black] (6,2) circle (2pt); \draw (6,2) -- (8,2); \draw [dashed] (6,0) -- (6,2); \draw[black] (-1/3,1) circle (2pt); \draw (-1/3,1) -- (-2,1); \draw [dashed] (-1/3,0) -- (-1/3,1); \node at (-5,1) {$x < -\frac{1}{3}$}; \node at (-5,2) {$x \geq 6$}; \end{tikzpicture}$

Le due soluzioni non si intersecano, quindi questo caso non ha soluzioni. Di solito si indica con: $S = \emptyset$ , dove $S$ sta per soluzione e $\emptyset$ è il simbolo dell’insieme vuoto.

Caso 2: $-3+\frac{1}{2}x < 0$

Nell’intervallo $-3+\frac{1}{2}x < 0$ , ossia $\frac{1}{2}x < 3$ , ossia $x < 6$ , il valore assoluto è uguale a $+3-\frac{1}{2}x$ . La disequazione quindi diventa

$+3 - \frac{1}{2}x > 2x-\frac{5}{2}$

Porto a sinistra tutti i termini con la $x$ e a destra tutti i termini senza:

$-\frac{1}{2}x -2x > -\frac{5}{2}-3$

Sommo gli elementi e ottengo

$\frac{-x-4x}{2} > \frac{-5-6}{2}$

$-\frac{5}{2}x > -\frac{11}{2}$

Moltiplico sia a destra che a sinistra per $-\frac{2}{5}$ in modo da isolare la $x$ , ricordandomi di cambiare il verso della disuguaglianza perchè sto moltiplicando per un numero negativo:

$x < -\frac{11}{2} \cdot \left(- \frac{2}{5}\right) \qquad \rightarrow \qquad x < + \frac{11}{5}$

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo $x < 6$ , perchè è qui che stiamo lavorando. Devo quindi intersecare le due cose:

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-2,2) rectangle (-1/3,0); \draw [->](-2,0) -- (8,0); \draw (-1/3,-0.2) -- (-1/3,0.2); \node at (-1/3,-0.5) {$\frac{11}{5}$}; \node at (6,-0.5) {$6$}; \draw (6,-0.2) -- (6,0.2); \draw (6,2) circle (2pt); \draw (6,2) -- (-2,2); \draw [dashed] (6,0) -- (6,2); \draw[black] (-1/3,1) circle (2pt); \draw (-1/3,1) -- (-2,1); \draw [dashed] (-1/3,0) -- (-1/3,1); \node at (-5,1) {$x < \frac{11}{5}$}; \node at (-5,2) {$x < 6$}; \end{tikzpicture}$

Nota: $\frac{11}{5} = \frac{66}{30} < \frac{180}{30} = 6$ .

Le due soluzioni si intersecano dove c’è il giallo, quindi questo caso ha soluzioni. In particolare la soluzione è

$x < \frac{11}{5}$

che è anche la soluzione totale dell’esercizio visto che il caso precedente non aveva soluzioni.

Nota: se entrambi i casi hanno soluzioni, la soluzione finale di tutto l’esercizio è data dall’unione delle due soluzioni due due casi.

Esercizio 2

Difficoltà:

#valore #assoluto

Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:

3|x|-2 < 2|x| +3

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definizione generale di valore assoluto:

$\begin{align*} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.

Esempi in breve:

$\begin{align*} |5x+1| & = \begin{cases} 5x+1 & \text{se} \ 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se} \ 5x-1 < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |-x^3+2x| & = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se} \ -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se} \ -x^3+2x < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |e^x-2x^2+\sin(x)| & = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c’è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.

Visto che all’interno della disequazione c’è lo stesso valore assoluto, la sistemiamo portando i valori assoluti a sinistra e il resto a destra:

$\begin{align*} 3|x|-2 & < 2|x| +3 \\ 3|x| -2|x| & < +2+3 \\ |x| & < 5 \end{align*}$

Mi sto quindi chiedendo quando un valore assoluto è minore di un numero positivo. Ho due possibilità per risolvere questa disequazione.

CASO 1: mi ricordo la formula

Siamo arrivati a una disequazione in cui ho solo un valore assoluto a sinistra e solo un numero positivo a destra, ossia con $k \geq 0$ . Se mi ricordo le formule, so che

$|A(x)| < k \; \; \text{è equivalente a} \; \; -k < A(x) < k$

Nel nostro caso la soluzione arriva direttamente visto che e

CASO 2: non mi ricordo la formula

Se non mi ricordo la formula scritta prima, posso risolvere comunque la disequazione, ma devo sapere la definizione di valore assoluto (quella scritta all’inizio).

$|x| = \begin{cases} x & \text{se} \ x \geq 0 \\ -x & \text{se} \ x < 0 \end{cases}$

Utilizzando quella infatti spezzo la disequazione in due casi:

$\begin{align*} |x| < 5 \rightarrow & \begin{cases} x < 5 & \text{se} \ x \geq 0 \\ -x < 5 & \text{se} \ x < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x < 5 & \text{se} \ x \geq 0 \\ (-1) \cdot (-x) \; {\color{red}{>}} \; 5 \cdot (-1) & \text{se} \ x < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x < 5 & \text{se} \ x \geq 0 \\ x > -5 & \text{se} \ x < 0 \end{cases} \end{align*}$

Dalla prima riga ottengo le soluzioni $0 \leq x < 5$ , mentre dalla seconda riga ottengo .

Dovendo unire le due soluzioni trovate, ritroviamo esattamente la stessa soluzione trovata al Caso 1:

Esercizio 3

Difficoltà:

#valore #assoluto

Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:

3+|x-2| > 8 - |x-2|

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definizione generale di valore assoluto:

$\begin{align*} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.

Esempi in breve:

$\begin{align*} |5x+1| & = \begin{cases} 5x+1 & \text{se} \ 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se} \ 5x-1 < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |-x^3+2x| & = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se} \ -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se} \ -x^3+2x < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |e^x-2x^2+\sin(x)| & = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c’è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.

Visto che all’interno della disequazione c’è lo stesso valore assoluto, la sistemiamo portando i valori assoluti a sinistra e il resto a destra:

$\begin{align*} 3+|x-2| & > 8 - |x-2| \\ |x-2| +|x-2| & > -3+8 \\ 2|x-2| & > 5 \\ \frac{2|x-2|}{2} & > \frac{5}{2} \\ |x-2| & > \frac{5}{2} \end{align*}$

dove nell’ultimo passaggio ho diviso tutto per per isolarmi il valore assoluto.

Mi sto quindi chiedendo quando un valore assoluto è maggiore di un numero positivo. Ho due possibilità per risolvere questa disequazione.

CASO 1: mi ricordo la formula

Siamo arrivati a una disequazione in cui ho solo un valore assoluto a sinistra e solo un numero positivo a destra, ossia con $k \geq 0$ . Se mi ricordo le formule, so che

$|A(x)| > k \; \; \text{è equivalente a} \; \; A(x) < -k \; \vee \; A(x) > k$

Nel nostro caso e $k = \frac{5}{2}$ e la soluzione diventa quindi

$\begin{align*} x-2 < -\frac{5}{2} \; & \vee \; x-2 > \frac{5}{2} \\ x < -\frac{5}{2}+2 \; & \vee \; x > \frac{5}{2}+ 2 \\ x < \frac{-5+4}{2} \; & \vee \; x > \frac{5+4}{2} \\ x < -\frac{1}{2} \; & \vee \; x > \frac{9}{2} \end{align*}$

CASO 2: non mi ricordo la formula

Se non mi ricordo la formula scritta prima, posso risolvere comunque la disequazione, ma devo sapere la definizione di valore assoluto (quella scritta all’inizio).

$|x-2| = \begin{cases} x-2 & \text{se} \ x-2 \geq 0 \\ -x+2 & \text{se} \ x-2 < 0 \end{cases}$

Utilizzando quella infatti spezzo la disequazione in due casi:

$\begin{align*} |x-2| > \frac{5}{2} \rightarrow & \begin{cases} x-2 > \frac{5}{2} & \text{se} \ x-2 \geq 0 \\ -x+2 > \frac{5}{2} & \text{se} \ x -2 < 0 \end{cases} \\ \end{align*}$

La prima disequazione può essere scritta come il sistema

$\begin{align*} \begin{cases} x-2 > \frac{5}{2} \\ x-2 \geq 0 \end{cases} \\ \end{align*}$

che risolta diventa

$\begin{align*} \begin{cases} x > \frac{5}{2}+2 \\ x\geq 2 \end{cases} \\ \begin{cases} x > \frac{9}{2} \\ x \geq 2 \end{cases} \\ \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (3,2) rectangle (5,0); \draw [->](0,0) -- (5,0); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \node at (1,-0.5) {$2$}; \node at (3,-0.5) {$\frac{9}{2}$}; \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw[fill=black] (1,1) circle (2pt); \draw (3,2) -- (5,2); \draw [dashed] (3,0) -- (3,2); \draw (1,1) -- (5,1); \draw [dashed] (1,0) -- (1,1); \draw[fill=white] (3,2) circle (2pt); \node at (-1,1) {$x \geq 2$}; \node at (-1,2) {$x > \frac{9}{2}$}; \end{tikzpicture}$

ossia $x > \frac{9}{2}$ .

La seconda disequazione può essere scritta come il sistema

$\begin{align*} \begin{cases} -x+2 > \frac{5}{2} \\ x-2 < 0 \end{cases} \\ \end{align*}$

che risolta diventa

$\begin{align*} \begin{cases} -x > \frac{5}{2}-2 \\ x < 2 \end{cases} \\ \begin{cases} -x > \frac{1}{2} \\ x < 2 \end{cases} \\ \begin{cases} x < -\frac{1}{2} \\ x < 2 \end{cases} \\ \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-1,2) rectangle (1,0); \draw [->](-1,0) -- (4,0); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \node at (1,-0.5) {$-\frac{1}{2}$}; \node at (3,-0.5) {$2$}; \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \draw (1,2) -- (-1,2); \draw [dashed] (1,0) -- (1,2); \draw (3,1) -- (-1,1); \draw [dashed] (3,0) -- (3,1); \draw[fill=white] (3,1) circle (2pt); \draw[fill=white] (1,2) circle (2pt); \node at (-2,1) {$x < 2$}; \node at (-2,2) {$x < -\frac{1}{2}$}; \end{tikzpicture}$

ossia $x < -\frac{1}{2}$ .

Dovendo prendere tutte e due le soluzioni trovate, la soluzione dell’intero esercizio anche in questo caso è

$x < -\frac{1}{2} \; & \vee \; x > \frac{9}{2}$

Esercizio 4

Difficoltà:

#valore #assoluto

Risolvi la seguente disequazione che contiene valori assoluti:

|x^2-4| > 4x-8

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definizione generale di valore assoluto:

$\begin{align*} |\ast(x)| & = \begin{cases} \ast(x) & \text{se} \ \ast(x) \geq 0 \\ -\ast(x) & \text{se} \ \ast(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

Il valore assoluto è uguale al suo argomento se l’argomento è positivo, mentre è uguale a meno l’argomento, se l’argomento è negativo.

Esempi in breve:

$\begin{align*} |5x+1| & = \begin{cases} 5x+1 & \text{se} \ 5x+1 \geq 0 \\ -5x-1 & \text{se} \ 5x-1 < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |-x^3+2x| & = \begin{cases} -x^3+2x & \text{se} \ -x^3+2x \geq 0 \\ x^3-2x & \text{se} \ -x^3+2x < 0 \end{cases} \end{align*} \begin{align*} |e^x-2x^2+\sin(x)| & = \begin{cases} e^x-2x+\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) \geq 0 \\ -e^x+2x-\sin(x) & \text{se} \ e^x-2x+\sin(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

L’ultimo esempio è stato scritto solo per rimarcare il fatto che non importa cosa c’è ad argomento del valore assoluto, sempre così si definsce.

Visto che il valore assoluto è definito per casi, il caso in cui l’argomento è positivo e il caso in cui l’argomento è negativo, anche le disequazioni col valore assoluto si risolvono per casi. In particolare, nel nostro esempio il valore assoluto diventa

$\begin{align*} |x^2-4| & = \begin{cases} x^2-4 & \text{se} \ x^2-4 \geq 0 \\ -x^2+4 & \text{se} \ x^2-4 < 0 \end{cases} \end{align*}$

La disequazione di partenza si divide quindi in due disequazioni, a seconda di come è definito il valore assoluto.

Caso 1: $x^2-4 \geq 0$

Nell’intervallo $x^2-4 \geq 0$ , il valore assoluto è uguale a . La disequazione quindi diventa

Porto tutto a sinistra:

$\begin{align*} x^2-4x-4+8 & > 0 \\ x^2-4x+4 & > 0 \\ (x-2)^2 & > 0 \end{align*}$

Quando un quadrato è meggiore di zero? Sempre, ma facendo attenzione che ho il e non il $\geq$ . Quindi ha come soluzione $x-2 \neq 0$ ossia $x \neq 2$ .

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo $x^2-4 \geq 0$ , perchè è qui che stiamo lavorando. Che intervallo è $x^2-4 \geq 0$ ? Ricordando le disequazioni di secondo grado,

$\begin{align*} x^2-4 & \; {\color{red}{\geq}} \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} \; & \; \text{associata:} \\ x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm \sqrt{4} \\ x & = \pm 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; {\color{red}{\geq}} & \rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -2 & \vee \; x \geq 2 \end{align*}$

Devo quindi intersecare la soluzione della disequazione con l’intervallo in cui sto lavorando:

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-2,2) rectangle (0,0); \shade[left color=yellow, right color = yellow] (2,2) rectangle (4,0); \draw [->](-2,0) -- (4,0); \draw (0,-0.2) -- (0,0.2); \node at (0,-0.5) {$-2$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \draw (-2,2) -- (4,2); \draw [dashed] (2,0) -- (2,2); \draw[fill = black] (0,1) circle (2pt); \draw[fill = black] (2,1) circle (2pt); \draw (-2,1) -- (0,1); \draw (2,1) -- (4,1); \draw [dashed] (0,0) -- (0,1); \draw[fill=white] (2,2) circle (2pt); \node at (-4,1) {$x \leq -2 \vee x \geq 2$}; \node at (-4,2) {$x \neq 2$}; \end{tikzpicture}$

La soluzione del primo caso è quindi

$x \leq -2 \; \vee \; x > 2$

Caso 2:

Nell’intervallo , il valore assoluto è uguale a . La disequazione quindi diventa

Porto tutto a sinistra:

$\begin{align*} -x^2-4x+4+8 & > 0 \\ -x^2-4x+12 & > 0 \\ (-1) \cdot (-x^2-4x+12) & \; {\color{red}{<}} \; 0 \cdot (-1) \\ x^2+4x-12 & < 0 \end{align*}$

Risolviamo questa disequazione di secondo grado:

$\begin{align*} x^2+4x-12 & \; {\color{red}{<}} \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} \; & \; \text{associata:} \\ x^2+4x-12 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} \\ & = \frac{-4 \pm 8}{2}\\ & = \begin{cases} -6 \\ 2 \end{cases}\\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; {\color{red}{<}} & \rightarrow \text{intervalli interni:} \\ -6 < & \; x < 2 \end{align*}$

ATTENZIONE: la soluzione che ho trovato è definita soltanto nell’intervallo , perchè è qui che stiamo lavorando. Che intervallo è ? Ricordando le disequazioni di secondo grado,

$\begin{align*} x^2-4 & \; {\color{red}{<}} \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} \; & \; \text{associata:} \\ x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm \sqrt{4} \\ x & = \pm 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; {\color{red}{<}} & \rightarrow \text{intervalli interni:} \\ -2 < & \; x < 2 \end{align*}$

Devo quindi intersecare la soluzione della disequazione con l’intervallo in cui sto lavorando:

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (1,2) rectangle (3,0); \draw [->](-2,0) -- (4,0); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \node at (-1,-0.5) {$-6$}; \node at (3,-0.5) {$2$}; \draw (3,-0.2) -- (3,0.2); \node at (1,-0.5) {$-2$}; \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \draw (-1,2) -- (3,2); \draw [dashed] (3,0) -- (3,2); \draw [dashed] (1,0) -- (1,2); \draw (3,1) -- (1,1); \draw [dashed] (-1,2) -- (-1,0); \draw[fill=white] (3,2) circle (2pt); \draw[fill = white] (-1,2) circle (2pt); \draw[fill = white] (3,1) circle (2pt); \draw[fill = white] (1,1) circle (2pt); \node at (-4,1) {$-2<x<2$}; \node at (-4,2) {$-6<x<2$}; \end{tikzpicture}$

La soluzione del secondo caso è quindi

Totale

Visto che entrambi i casi hanno soluzioni, la soluzione finale di tutto l’esercizio è data dall’unione delle due soluzioni dei due casi: unendo $x \leq -2 \vee x >2$ (in verde nel grafico sotto) con (in blu nel grafico sotto) ottengo tutti i numeri tranne , quindi la soluzione finale è $x \neq 2$ .

$\begin{tikzpicture} \draw [->](-3,0) -- (3,0); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (2,-0.2) -- (2,0.2); \node at (-2,-0.5) {$-2$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \draw[fill=green] (-2,1) circle (2pt); \draw[color=green] (-3,1) -- (-2,1); \draw[color=green] (2,1) -- (3,1); \draw[color=blue] (-2,1) -- (2,1); \draw[fill=white] (2,1) circle (2pt); \end{tikzpicture}$