A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni con seno e coseno.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#disequazione #non #elementare

Risolvi la seguente disequazione

$4\cos^2(x) +4\cos(x) -3 \geq 0$

Soluzione

Come prima cosa risolviamo l’equazione associata

$4\cos^2(x) +4\cos(x) -3 = 0$

Se poniamo $\cos(x) = t$ otteniamo

$4t^2 +4t - 3 = 0$

e possiamo applicare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado. Visto che il termine di primo grado ha coefficiente pari, utilizziamo la formula con $\frac{\Delta}{4}$ : ricordiamo la formula per l’equazione generale $ax^2+bx+c = 0$ con $a\neq 0$ e $b$ pari.

$x_{1/2} = \frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2 - ac}}{a}$

Nel nostro caso quindi abbiamo

$\begin{align*} t_{1/2} & = \frac{-2 \pm \sqrt{4-(4)(-3)}}{4} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{4} \\ & = \frac{-2 \pm 4}{4} \\ & = \begin{cases} \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{cases} \end{align*}$

Abbiamo quindi ottenuto $t = \cos(x) = \frac{1}{2}$ e $t = \cos(x) = - \frac{3}{2}$ .

Dallo studio delle disequazioni di secondo grado sappiamo che la disequazione $4\cos^2(x) +4\cos(x) -3 \geq 0$ è soddisfatta per i valori esterni all’intervallo delle soluzioni dell’equazione associata, cioè

$\cos(x) \leq - \frac{3}{2} \ \cup \ \cos(x) \geq \frac{1}{2}$

Rappresentiamo graficamente sulla circonferenza goniometrica ciò che abbiamo trovato.

Spendiamo subito due parole sulla prima disuguaglianza, $\cos(x) \leq - \frac{3}{2}$ : per definizione di coseno, sappiamo che esso è sempre incluso fra -1 e 1, ossia $-1\leq \cos(x) \leq 1$ . Poichè $-\frac{3}{2} < -1$ , il coseno non può mai essere minore di $-\frac{3}{2}$ ; questa disequazione è quindi impossibile, ossia $\nexists \; x \in \mathbb{R}$ tale che $\cos(x) \leq - \frac{3}{2}$ .

Per la seconda disequazione, ricordiamo che l’angolo che ha coseno uguale a $\frac{1}{2}$ è $\frac{\pi}{3}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.3) {1}; \node at (-1.2,-0.3) {-1}; \node at (0.3,1.2) {1}; \node at (0.3,-1.2) {-1}; \draw (0,0) -- (0.5,1.73205080757/2); \draw (0,0) -- (0.5,-1.73205080757/2); \draw[dashed] (0.5,-1.73205080757/2)--(0.5,1.73205080757/2); \draw [red,thick] (0.5,0) -- (1,0); \node at (0.4,-0.2) {\tiny $\frac{1}{2}$}; \draw[fill=red] (0.5,0) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (0.5,1.73205080757/2) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (0.5,-1.73205080757/2) circle (0.05cm); \draw[red] (0.5,1.73205080757/2) arc (60:-60:1); \node [red] at (0.8,1.73205080757/2) {\tiny $\frac{\pi}{3}$}; \node [red] at (0.9,-1.73205080757/2) {\tiny $-\frac{\pi}{3}$}; \end{tikzpicture}$

Quindi $\cos(x) \geq \frac{1}{2}$ se

$-\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3}$

Poichè il coseno è una funzione periodica, dobbiamo tenere conto che ritroviamo le soluzioni ogni giro della circonferenza, ossia ogni $2\pi$ . Quindi, la soluzione finale è

$-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Esercizio 2

Difficoltà:

#disequazione #elementare

Risolvi la seguente disequazione in $\mathbb{R}$

$2(\sin(x)+3)-1 < 3(1-\sin(x))+2$

Soluzione

Come prima cosa svolgiamo i conti e sistemiamo la disequazione

$\begin{align*} 2(\sin(x)+3)-1 & < 3(1-\sin(x))+2 \\ 2\sin(x)+6-1 & < 3-3\sin(x)+2 \\ 2\sin(x)+3\sin(x) & < -6+1+3+2 \\ 5\sin(x) & < 0 \\ \frac{5\sin(x)}{5} & < \frac{0}{5} \\ \sin(x) & < 0 \end{align*}$

Ci stiamo quindi chiedendo quando il seno è negativo.

Risolviamo prima l’equazione associata:

$\sin(x) = 0$

Nella circonferenza unitaria, gli angoli che hanno seno uguale a zero sono l’angolo e $\pi$ .

$\sin(x) = 0 \rightarrow x = 0 \; \vee \; x = \pi$

Poichè il seno si legge sull’asse delle , devo prendere tutti quegli angoli che vanno da $\pi$ a $2\pi$ , ossia che hanno negativa (in rosso nel grafico di seguito).

$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.3) {1}; \node at (-1.2,-0.3) {-1}; \node at (0.3,1.2) {1}; \node at (0.3,-1.2) {-1}; \draw [red,thick] (0,0) -- (0,-1); \node at (-0.2,0.2) {\tiny $0$}; \draw[fill=red] (0,0) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (1,0) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (-1,0) circle (0.05cm); \draw[red] (1,0) arc (0:-180:1); \node [red] at (1.2,0.2) {\tiny $0$}; \node [red] at (-1.2,0.2) {\tiny $\pi$}; \end{tikzpicture}$

La prima soluzione trovata per $\sin(x) < 0$ è quindi

$\pi < x < 2\pi$

Poichè il seno è una funzione periodica, dobbiamo tenere conto che ritroviamo le soluzioni ogni giro della circonferenza, ossia ogni $2\pi$ . Quindi, la soluzione finale è

$\pi + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi$

con $k = 0,1,2,3,\dots$

Esercizio 3

Difficoltà:

#disequazione #seno #coseno #fratta

Risolvi la seguente disequazione in $[0,2\pi]$

$\frac{2\sin^2(x)-1}{\cos(x)} \leq 0$

Soluzione

Come prima cosa vediamo che la disequazione, oltre a contenere seni e coseni, è più in generale una disequazione fratta dal momento che l’incognita compare anche a denominatore oltre che a numeratore.

Come si risolvono le disequazioni fratte? Dopo essere arrivati a una forma del tipo $\frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0$ (ossia la nostra disequazione) si procede con lo studio del segno di numeratore, denominatore e alla fine della frazione.

Studio del numeratore

Andiamo a studiare quando il numeratore è positivo:

$\begin{align*} 2\sin^2(x) - 1 & \geq 0 \\ 2\sin^2(x) & \geq 1 \\ \frac{2\sin^2(x)}{2} & \geq \frac{1}{2} \\ \sin^2(x) & \geq \frac{1}{2} \end{align*}$

Se pensiamo a $\sin(x)$ come a un’unica variabile, siamo sostanzialmente di fronte a una disequazione di secondo grado tipo $t^2 \geq \frac{1}{2}$ . Risolviamo quindi l’equazione associata:

$\sin^2(x) = \frac{1}{2} \rightarrow \sin(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Poichè avevamo $\geq$ , prendo gli intervalli esterni:

$\sin(x) \leq -\frac{1}{\sqrt{2}} \; \; \vee \; \; \sin(x) \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Quali sono gli angoli che hanno seno uguale a $\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ ?

$\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow x = \frac{\pi}{4} \vee x = \frac{3}{4}\pi$

$\sin(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow x = \frac{5}{4}\pi \vee x = \frac{7}{4}\pi$

Attenzione: nell’ultima equazione non scrivo $x = -\frac{3}{4}\pi \vee x = -\frac{\pi}{4}$ (che sarebbe stato giusto) in quanto mi viene richiesto di risolvere l’equazione in $[0,2\pi]$ .

Poichè il seno si legge sull’asse delle , devo prendere tutti quegli angoli che sono compresi fra gli estremi che ho trovato (in rosso nel grafico di seguito), ossia che hanno seno maggiore di $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e minore di $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.2) {\tiny 1}; \node at (-1.2,-0.2) {\tiny -1}; \node at (0.2,1.2) {\tiny 1}; \node at (0.2,-1.2) {\tiny -1}; \node at (1.7,0.3) {\tiny $\textcolor{green}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$}; \node at (-1.9,-0.4) {\tiny $\textcolor{green}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}$}; \draw [green] (0,0.70710678118) -- (0,0); \draw [green] (0,-0.70710678118) -- (0,0); \draw [->,green] (1.4,0.3) -- (0.2,0.3); \draw [->,green] (-1.4,-0.4) -- (-0.2,-0.4); \draw [red] (0,0.70710678118) -- (0,1); \draw [red] (0,-0.70710678118) -- (0,-1); \draw [dashed] (-0.70710678118,0.70710678118) -- (0.70710678118,0.70710678118); \draw [dashed] (-0.70710678118,-0.70710678118) -- (0.70710678118,-0.70710678118); \draw [ultra thin] (0,0) -- (0.70710678118,0.70710678118); \draw [ultra thin] (0,0) -- (-0.70710678118,0.70710678118); \draw [ultra thin] (0,0) -- (-0.70710678118,-0.70710678118); \draw [ultra thin] (0,0) -- (0.70710678118,-0.70710678118); \draw[fill=red] (0.70710678118,0.70710678118) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (0.70710678118,-0.70710678118) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (-0.70710678118,0.70710678118) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (-0.70710678118,-0.70710678118) circle (0.05cm); %\draw[red] (0,0) arc (-45:-135:1); \draw [red,domain=-135:-45] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); \draw [red,domain=45:135] plot ({cos(\x)}, {sin(\x)}); \node [red] at (1,0.707) {\tiny $\frac{\pi}{4}$}; \node [red] at (-1.2,0.707) {\tiny $\frac{3}{4}\pi$}; \node [red] at (1.1,-0.707) {\tiny $\frac{7}{4}\pi$}; \node [red] at (-1.2,-0.74) {\tiny $\frac{5}{4}\pi$}; \end{tikzpicture}$

Abbiamo quindi trovato che il numeratore è positivo per

$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\pi \; \; \vee \; \; \frac{5}{4}\pi \leq x \leq \frac{7}{4}\pi$

Studio del denominatore

Fortunatamente il denominatore è facile in quanto sappiamo che il coseno è positivo nel primo e quarto quadrante:

$\cos(x) > 0 \rightarrow -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$

Attenzione: poichè mi viene chiesto di risolvere l’equazione in $[0,2\pi]$ , devo riscrivere la soluzione come

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \; \text{equivale a} \; \; \; 0 \leq x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{3}{2}\pi < x \leq 2\pi$

Studio della frazione

Ora che sappiamo quando il numeratore e il denominatore sono positivi, posso mettere tutto insieme nel "castello dei segni" e vedere quando la frazione è positiva e negativa.

Metto in una riga il segno del numeratore: con indico dove il numeratore è positivo. Stessa cosa per il denominatore in una riga successiva. Indico con i pallini pieni gli estremi che sono inclusi, con i pallini vuoti quelli esclusi.

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) -- (3.5,0); \draw (0,2.7) -- (0,-0.2); \draw (0.5,2.7) -- (0.5,-0.2); \draw (1,2.7) -- (1,-0.2); \draw (1.5,2.7) -- (1.5,-0.2); \draw (2,2.7) -- (2,-0.2); \draw (2.5,2.7) -- (2.5,-0.2); \draw (3,2.7) -- (3,-0.2); \draw (3.5,2.7) -- (3.5,-0.2); \node at (0,-0.5) {\small $0$}; \node at (0.5,-0.5) {\small $\frac{\pi}{4}$}; \node at (1,-0.5) {\small $\frac{\pi}{2}$}; \node at (1.5,-0.5) {\small $\frac{3\pi}{4}$}; \node at (2,-0.5) {\small $\frac{5\pi}{4}$}; \node at (2.5,-0.5) {\small $\frac{3\pi}{2}$}; \node at (3,-0.5) {\small $\frac{7\pi}{4}$}; \node at (3.5,-0.5) {\small $2\pi$}; \node at (-2,0.5) {\small Frazione:}; \node at (-3,1.5) {\small Den: $0 \leq x < \frac{\pi}{2} \vee \frac{3}{2}\pi < x \leq 2\pi$}; \node at (-3,2.5) {\small Num: $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{3}{4}\pi \vee \frac{5}{4}\pi \leq x \leq \frac{7}{4}\pi$}; \draw (0,1) -- (4,1); \draw (0,2) -- (4,2); \node at (0.25,2.5) {\small $-$}; \node at (0.75,2.5) {\small $+$}; \node at (1.25,2.5) {\small $+$}; \node at (1.75,2.5) {\small $-$}; \node at (2.25,2.5) {\small $+$}; \node at (2.75,2.5) {\small $+$}; \node at (3.25,2.5) {\small $-$}; \node at (0.25,1.5) {\small $+$}; \node at (0.75,1.5) {\small $+$}; \node at (1.25,1.5) {\small $-$}; \node at (1.75,1.5) {\small $-$}; \node at (2.25,1.5) {\small $-$}; \node at (2.75,1.5) {\small $+$}; \node at (3.25,1.5) {\small $+$}; \node at (0.25,0.5) {\small $-$}; \node at (0.75,0.5) {\small $+$}; \node at (1.25,0.5) {\small $-$}; \node at (1.75,0.5) {\small $+$}; \node at (2.25,0.5) {\small $-$}; \node at (2.75,0.5) {\small $+$}; \node at (3.25,0.5) {\small $-$}; \draw[fill=black] (0.5,2.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (1.5,2.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (2,2.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (3,2.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (0,1.5) circle (0.06cm); \draw (1,1.5) circle (0.06cm); \draw (2.5,1.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (3.5,1.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (0.5,0.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (1.5,0.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (2,0.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (3,0.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (0,0.5) circle (0.06cm); \draw (1,0.5) circle (0.06cm); \draw (2.5,0.5) circle (0.06cm); \draw[fill=black] (3.5,0.5) circle (0.06cm); \end{tikzpicture}$

Nella riga frazione, prendo gli intervalli con o con ? Dipende da cosa sto risolvendo. Nel nostro caso volevamo trovare quando la frazione è negativa ( $\leq 0$ ) quindi prendo gli intervalli con il segno .

La soluzione è quindi

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} \; \vee \; \frac{\pi}{2} < x \leq \frac{3}{4}\pi \; \vee \; \frac{5}{4}\pi \leq x < \frac{3}{2}\pi \; \vee \; \frac{7}{4}\pi \leq x \leq 2\pi$

Esercizio 4

Difficoltà:

#disequazione #elementare

Risolvi la seguente disequazione in $[0,2\pi]$

$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \geq 0$

Soluzione

Che cosa ci sta chiedendo la disequazione?

Sostanzialmente ci stiamo chiedendo quando il seno di un angolo è maggiore o uguale di zero.

Ricordiamo quando il seno è positivo: guardando la circonferenza unitaria e ricordando che il seno di un angolo si legge sull’asse delle , il seno è positivo per tutti gli angoli compresi fra e $\pi$ (in rosso in figura sotto).

$\begin{align*} \sin(\text{\color{green}{angolo}} \; {\color{green}{\alpha}}) & \geq 0 \\ & \downarrow \\ 0 \leq \color{green}{\text{angolo}} & \; {\color{green}{\alpha}} \leq \pi \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2,0) -- (2,0); \draw [->] (0,-2) -- (0,2); \draw (0,0) circle (1cm); \node at (1.2,-0.3) {1}; \node at (-1.2,-0.3) {-1}; \node at (0.3,1.2) {1}; \node at (0.3,-1.2) {-1}; %\draw [red,thick] (0,0) -- (0,-1); \node at (-0.2,0.2) {\tiny $0$}; %\draw[fill=red] (0,0) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (1,0) circle (0.05cm); \draw[fill=red] (-1,0) circle (0.05cm); \draw[red] (1,0) arc (0:180:1); \node [red] at (1.2,0.2) {\tiny $0$}; \node [red] at (-1.2,0.2) {\tiny $\pi$}; \end{tikzpicture}$

Nel nostro caso quindi

$0 \leq x-\frac{\pi}{3} \leq \pi$

Attenzione: non metto la periodicità (il $+2k\pi$ ) perchè il testo mi dice di risolvere la disquazione in $[0,2\pi]$ .

La prima parte della disquazione diventa:

$\begin{align*} x - \frac{\pi}{3} & \geq 0 \\ x & \geq \frac{\pi}{3} \end{align*}$

mentre la seconda parte della disquazione diventa:

$\begin{align*} x - \frac{\pi}{3} & \leq \pi \\ x & \leq \pi + \frac{\pi}{3} \\ x & \leq \frac{3\pi+\pi}{3} \\ x & \leq \frac{4}{3}\pi \end{align*}$

La soluzione è quindi

$\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}\pi$