A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni irrazionali.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#radici #sistemi

Risolvi la seguente disequazione irrazionale

$\sqrt{x-1} > x-3$

Soluzione

Come prima cosa notiamo che la disequazione è già scritta "bene", nel senso che il termine con la radice è a sinistra e tutto il resto a destra della disuguaglianza. Ci basta quindi solo applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a $2$ ) con disequazione del tipo $\sqrt{A(x)} > B(x)$ . Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere

$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \vee \begin{cases} B(x) \geq 0 \\ A(x) > (B(x))^2 \end{cases}$

dove, nel nostro caso, $A(x) = x-1$ e $B(x) = x-3$ . I sistemi diventano quindi

$\begin{cases} x-1 \geq 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} \vee \begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x-1 > (x-3)^2 \end{cases}$

Partiamo con la risoluzione del primo sistema.

$\begin{align*} & \begin{cases} x-1 \geq 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 1 \\ x < 3 \end{cases} \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \draw[fill=yellow] (-1,2) rectangle (1,0); \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,2); \draw (1,-0.2)--(1,2); \node at (-1,-0.5) {$1$}; \node at (1,-0.5) {$3$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $x \geq 1$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $x < 3$}; \draw[fill=black] (-1,0.5) circle (0.1cm); \draw (1,1.5) circle (0.1cm); \draw (1,1.5) -- (-2,1.5); \draw (-1,0.5) -- (2,0.5); \end{tikzpicture}$

La soluzione del primo sistema è quindi

$1 \leq x < 3$

Passiamo a risolvere il secondo sistema.

$\begin{align*} & \begin{cases} x-3 \geq 0 \\ x-1 > (x-3)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x-1 > x^2 + 9 - 6x \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x-1 -x^2 -9 + 6x > 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ -x^2 +7x -10> 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ x^2 -7x +10 < 0 \end{cases} \end{align*}$

Risolviamo a parte la disequazione di secondo grado. Ricordo che gli step per risolverla sono

arrivare a una forma del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$ con $\underline{\mathbf{a > 0}}$ ;

risolvere l’equazione associata $ax^2+bx+c = 0$ e trovare le soluzioni $x_1,x_2$ con $x_2 \leq x_1$ ;

se avevo $ax^2+bx+c > 0$ prendo gli intervalli esterni: $x < x_2 \cup x > x_1$

se avevo $ax^2+bx+c < 0$ prendo l’intervallo interno: $x_2 < x < x_1$

Nota: le disuguaglianze nelle soluzioni sono strette o no in base a quelle di partenza.

Risolvo quindi la nostra disuguaglianza:

$\begin{align*} x^2-7x+10 & < 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata}\\ x^2 -7x + 10& = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{49-4(1)(10)}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{49-40}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{1/2} & = \frac{7\pm 3}{2} \\ x_{1/2} & = \begin{cases} 5 \\ 2 \end{cases} \\ & \downarrow \\ \text{avevo} < & \Rightarrow \text{intervallo interno} \\ 2 < \; & x < 5 \end{align*}$

Il secondo sistema diventa quindi

$\begin{align*} & \begin{cases} x \geq 3 \\ x^2 -7x +10 < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq 3 \\ 2 < x < 5 \end{cases} \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \draw[fill=yellow] (0,2) rectangle (1,0); \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,2); \draw (0,-0.2)--(0,2); \draw (1,-0.2)--(1,2); \node at (-1,-0.5) {$2$}; \node at (0,-0.5) {$3$}; \node at (1,-0.5) {$5$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $x \geq 3$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $2<x<5$}; \draw[fill=black] (0,0.5) circle (0.1cm); \draw (1,1.5) circle (0.1cm); \draw (-1,1.5) circle (0.1cm); \draw (1,1.5) -- (-1,1.5); \draw (0,0.5) -- (2,0.5); \end{tikzpicture}$

La soluzione di questo sistema è quindi

$3 \leq x < 5$

Poichè la soluzione finale è data dall’unione delle soluzioni dei due sistemi, si ha

$1 \leq x < 3 \cup 3 \leq x < 5$

ossia

$1 \leq x < 5$

Esercizio 2

Difficoltà:

#radici #sistemi

Risolvi la seguente disequazione irrazionale

$2\sqrt{1-x+x^2} < 1-2x$

Soluzione

Come prima cosa notiamo che la disequazione è già scritta quasi "bene", nel senso che vogliamo arrivare ad avere a sinistra della disuguaglianza solo il termine con la radice e a destra della disuguaglianza tutto il resto. Per avere solo la radice a sinistra, devo quindi dividere tutto per :

$\begin{align*} 2\sqrt{1-x+x^2} & < 1-2x \\ \frac{2\sqrt{1-x+x^2}}{2} & < \frac{1-2x}{2} \\ \sqrt{1-x+x^2} & < \frac{1-2x}{2} \end{align*}$

Possiamo ora applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a ) con disequazione del tipo $\sqrt{A(x)} < B(x)$ . Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere

$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < [B(x)]^2 \end{cases} \end{cases}$

dove, nel nostro caso, e $B(x) = \frac{1-2x}{2}$ .

Il sistema diventa quindi

$\begin{cases} 1-x+x^2 \geq 0 \\ \frac{1-2x}{2} > 0 \\ 1-x+x^2 < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \end{cases} \end{cases}$

Partiamo con la risoluzione della prima disequazione.

$x^2-x+1 \geq 0$

Vediamo subito che si tratta di una disequazione di secondo grado. Ricordiamo come si risolvono.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta negativo: $\Delta < 0$

Allora ha soluzione $\forall \; x \in \mathbb{R}$ , mentre ha soluzione $\nexists \; x \in \mathbb{R}$ . A parole, se e delta è negativo, l’espressione è sempre positiva: quindi la disuguaglianza con il maggiore è sempre verificata mentre non lo è mai quella con il minore.

Andiamo quindi a risolvere la nostra:

$\begin{align*} x^2-x+1 & \geq 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2-x+1 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1-4(1)(1)}}{2(1)} \\ & = \frac{+1 \pm \sqrt{-3}}{2} \\ \end{align*}$

Abbiamo ottenuto un delta negativo: $\Delta = -3$ . Secondo le regole ricordate prima, la disequazione è sempre verificata e ha quindi come soluzione

$\forall \; x \in \mathbb{R}$

Passiamo a risolvere la seconda disequazione del sistema.

$\begin{align*} \frac{1-2x}{2} & > 0 \\ 2 \cdot \frac{1-2x}{2} & > 0 \cdot 2 \\ 1-2x & > 0 \\ -2x & > -1 \\ \text{moltiplico destra e sinistra }& \downarrow \text{per $-1$ cambiando il verso}\\ 2x & < 1 \\ \frac{2x}{2} & < \frac{1}{2} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align*}$

Infine, andiamo a risolvere la terza disequazione del sistema.

$\begin{align*} 1-x+x^2 & < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \\ 1-x+x^2 & < \frac{(1-2x)^2}{4} \\ 4 \cdot (1-x+x^2) & < \frac{(1-2x)^2}{4} \cdot 4 \\ 4-4x+4x^2 & < 1-4x+4x^2 \\ 4-4x+4x^2-1+4x-4x^2 & < 0 \\ 3 & < 0 \end{align*}$

Abbiamo quindi ottenuto una disuguaglianza palesemente falsa: non è minore di zero. Ciò vuol dire che la disequazione che stavamo provando a risolvere non ha soluzione:

$\nexists \; x \in \mathbb{R}$

Possiamo ora riprendere in mano il sistema di partenza.

$\begin{align*} & \begin{cases} 1-x+x^2 \geq 0 \\ \frac{1-2x}{2} > 0 \\ 1-x+x^2 < \left(\frac{1-2x}{2}\right)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} \forall \; x \in \mathbb{R} \\ x < \frac{1}{2} \\ \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{cases} \\ \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} %\draw[fill=yellow] (-1,2) rectangle (1,0); \draw (-2,0)--(2,0); \draw (0,-0.2)--(0,3); \node at (0,-0.5) {$\frac{1}{2}$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $\nexists \; x \in \mathbb{R}$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $x < \frac{1}{2}$}; \node at (-3,2.5) {\scriptsize $\forall \; x \in \mathbb{R}$}; \draw (0,1.5) circle (0.07); \draw (0,1.5) -- (-2,1.5); \draw (-2,2.5) -- (2,2.5); \end{tikzpicture}$

La soluzione del sistema è data dagli intervalli in cui compaiono tutte e tre le soluzioni contemporanemente: nel nostro caso non c’è nessun intervallo in cui ciò succede. La disequazione di partenza non ha quindi soluzione:

$\nexists \; x \in \mathbb{R}$

Memo: quando in un sistema di disequazioni/equazioni una soluzione di almeno una delle disequazioni/equazioni è l’insieme vuoto (ossia $\nexists \; x \in \mathbb{R}$ ), in automatico anche il sistema non ammette soluzioni.

Ciò deriva dal fatto che mettere a sistema significa intersecare le soluzioni delle disequazioni/equazioni: dalle regole insiemistiche sappiamo che il vuoto intersecato con qualsiasi cosa dà sempre il vuoto.

Esercizio 3

Difficoltà:

#radici #sistemi

Risolvi la seguente disequazione irrazionale

$1 > \sqrt{x^2-2x}-x$

Soluzione

Come prima cosa dobbiamo "sistemare" la disequazione in modo da arrivare a una forma del tipo $\sqrt{A(x)} \gtrless B(x)$ :

$\begin{align*} 1 & > \sqrt{x^2-2x}-x \\ -\sqrt{x^2-2x} & > -1-x \\ (-1) \cdot -\sqrt{x^2-2x} & > (-1-x) \cdot (-1) \\ \sqrt{x^2-2x} & \; \textcolor{red}{<} \; x+1 \end{align*}$

dove ho evidenziato in rosso il cambio di verso poichè ho moltiplicato tutto per un numero negativo.

Possiamo ora applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a ) con disequazione del tipo $\sqrt{A(x)} < B(x)$ . Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere

$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) > 0 \\ A(x) < [B(x)]^2 \end{cases} \end{cases}$

dove, nel nostro caso, e .

Il sistema diventa quindi

$\begin{cases} x^2-2x \geq 0 \\ x+1 > 0 \\ x^2-2x < \left(x+1\right)^2 \end{cases}$

Partiamo con la risoluzione della prima disequazione.

$x^2-2x \geq 0$

Vediamo subito che si tratta di una disequazione di secondo grado. Ricordiamo come si risolvono.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Andiamo quindi a risolvere la nostra:

$\begin{align*} x^2-2x & \; \textcolor{red}{\geq} \; 0\\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2-2x & = 0 \\ x(x-2) & = 0 \\ & \downarrow \\ x = 0 & \vee x-2 = 0 \\ x = 0 & \vee x = 2 \\ \text{poichè avevo} \; \textcolor{red}{\geq} \; & \rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq 0 & \; \vee x \geq 2 \end{align*}$

La soluzione della prima disequazione del sistema è quindi

$x \leq 0 \; \vee \; x \geq 2$

Passiamo a risolvere la seconda disequazione del sistema.

$\begin{align*} x+1 > 0 \\ x > -1 \end{align*}$

Infine, andiamo a risolvere la terza disequazione del sistema.

$\begin{align*} x^2-2x & < \left(x+1\right)^2 \\ x^2-2x & < x^2+2x+1 \\ x^2-2x-x^2-2x-1 & < 0 \\ -4x-1 & < 0 \\ -4x & < 1 \\ \frac{-4x}{-4} & < \frac{1}{-4} \\ x & \; \textcolor{red}{>} \; -\frac{1}{4} \end{align*}$

dove ho evidenziato in rosso il cambio di verso in quanto ho diviso per un numero negativo.

Possiamo ora riprendere in mano il sistema di partenza.

$\begin{align*} & \begin{cases} x^2-2x \geq 0 \\ x+1 > 0 \\ x^2-2x < \left(x+1\right)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \leq 0 \vee x \geq 2 \\ x > -1 \\ x > -\frac{1}{4} \end{cases} \\ \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} \draw[fill=yellow] (-0.25,3) rectangle (0.5,0); \draw[fill=yellow] (2,3) rectangle (3,0); \draw (-2,0)--(3,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,3); \draw (-0.25,-0.2)--(-0.25,3); \draw (0.5,-0.2)--(0.5,3); \draw (2,-0.2)--(2,3); \node at (-0.25,-0.5) {$-\frac{1}{4}$}; \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0.5,-0.5) {$0$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $x > -\frac{1}{4}$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $x > -1$}; \node at (-3.5,2.5) {\scriptsize $x \leq 0 \vee x \geq 2$}; \draw (0.5,2.5) -- (-2,2.5); \draw (2,2.5) -- (3,2.5); \draw (-1,1.5) -- (3,1.5); \draw (-0.25,0.5) -- (3,0.5); \draw[fill=black] (0.5,2.5) circle (0.07); \draw[fill=black] (2,2.5) circle (0.07); \draw[fill=white] (-1,1.5) circle (0.07); \draw[fill=white] (-0.25,0.5) circle (0.07); \end{tikzpicture}$

La soluzione del sistema è data dagli intervalli in cui compaiono tutte e tre le soluzioni contemporaneamente: nel nostro caso ci sono due intervalli che soddisfano questa condizione (in giallo nel grafico). La disequazione di partenza ha quindi soluzione:

$-\frac{1}{4} < x \leq 0 \; \vee \; x \geq 2$

Nota su come costruire il grafico: in ogni riga disegno la soluzione che ho trovato tramite una linea continua, facendo attenzione a includere o no gli estremi. Con i pallini neri indico che l’estremo è incluso, mentre con i pallini bianchi che è escluso.

SUPER ATTENZIONE: quando la soluzione di una disequazione è l’unione di due intervalli (come nel nostro caso, la prima disequazione), questi due intervalli vanno disegnati nella stessa riga, così come abbiamo fatto con $x \leq 0 \vee x \geq 2$ .

Esercizio 4

Difficoltà:

#radici #sistemi

Risolvi la seguente disequazione irrazionale

$x \leq -1 + \sqrt{1+2x}$

Soluzione

Come prima cosa dobbiamo "sistemare" la disequazione in modo da arrivare a una forma del tipo $\sqrt{A(x)} \gtrless B(x)$ :

$\begin{align*} x & \leq -1 + \sqrt{1+2x} \\ -\sqrt{1+2x} & \leq -1-x \\ (-1) \cdot -\sqrt{1+2x} & \leq (-1-x) \cdot (-1) \\ \sqrt{1+2x} & \; \textcolor{red}{\geq} \; x+1 \end{align*}$

dove ho evidenziato in rosso il cambio di verso poichè ho moltiplicato tutto per un numero negativo.

Possiamo ora applicare la formula. Siamo nel caso di indice di radice pari (uguale a ) con disequazione del tipo $\sqrt{A(x)} \geq B(x)$ . Formula ci dice che la disuguaglianza è equivalente a risolvere

$\begin{align*} \begin{cases} B(x) \geq 0 \\ A(x) \geq [B(x)]^2 \end{cases} \vee \qquad \begin{cases} A(x) \geq 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \end{align*}$

dove, nel nostro caso, e .

I sistemi diventano quindi

$\begin{align*} \begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 1+2x \geq (x+1)^2 \end{cases} \vee \qquad \begin{cases} 1+2x \geq 0 \\ x+1 < 0 \end{cases} \end{align*}$

Partiamo con la risoluzione del primo sistema.

$\begin{align*} & \begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 1+2x \geq (x+1)^2 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq -1 \\ 1+2x \geq x^2+2x+1 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq -1 \\ 1+2x-x^2-2x -1\geq 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x\geq -1\\ -x^2 \geq 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x\geq -1\\ (-1) \cdot (-x^2) \geq 0 \cdot (-1) \end{cases} \\ & \begin{cases} x\geq -1\\ x^2 \leq 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} x\geq -1\\ x = 0 \end{cases} \end{align*}$

Prima di vedere la soluzione di tutto il sistema, ricordiamo perchè $x^2 \leq 0$ ha soluzione : in generale,

$(*(x))^2 \geq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R}$

$(*(x))^2 > 0 \rightarrow *(x) \neq 0$

$(*(x))^2 \leq 0 \rightarrow *(x) = 0$

$(*(x))^2 < 0 \rightarrow \nexists \; x \in \mathbb{R}$

dove è qualsiasi cosa scritta in funzione di . Nel nostro caso è e ricadiamo nel caso 3.

Risolviamo ora il sistema:

$\begin{cases} x\geq -1\\ x = 0 \end{cases}$

$\begin{tikzpicture} %\draw[fill=yellow] (-0.1,2) rectangle (0.1,0); \draw[yellow,ultra thick] (0,-0.2)--(0,2); \draw (-2,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,2); \draw[line width=0.07mm] (0,-0.2)--(0,2); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0,-0.5) {$0$}; \node at (-3,0.5) {\scriptsize $x = 0$}; \node at (-3,1.5) {\scriptsize $x \geq -1$}; \draw (-1,1.5) -- (2,1.5); \draw[fill=black] (-1,1.5) circle (0.07); \draw[fill=black] (0,0.5) circle (0.07); \end{tikzpicture}$

In ogni riga disegno la soluzione che ho trovato tramite una linea continua, facendo attenzione a includere o no gli estremi. Con i pallini neri indico che gli estremi sono inclusi. Ovviamente è solo un punto, corrispondente al numero .

La soluzione (in giallo nel grafico) è data dagli intervalli in cui compaiono tutte e due le soluzioni contemporaneamente: nel nostro caso visto che è contenuto in $x \geq -1$ , sarà anche la soluzione di tutto il sistema.

Passiamo a risolvere il secondo sistema.

$\begin{align*} & \begin{cases} 1+2x \geq 0 \\ x+1 < 0 \end{cases} \\ & \begin{cases} 2x \geq -1 \\ x < -1 \end{cases} \\ & \begin{cases} \frac{2x}{2} \geq \frac{-1}{2} \\ x < -1 \end{cases} \\ & \begin{cases} x \geq -\frac{1}{2} \\ x < -1 \end{cases} \end{align*}$

$\begin{tikzpicture} %\draw[fill=yellow] (-0.1,2) rectangle (0.1,0); %\draw[yellow,ultra thick] (0,-0.2)--(0,2); \draw (-2.5,0)--(2,0); \draw (-1,-0.2)--(-1,2); \draw (0,-0.2)--(0,2); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0,-0.5) {$-\frac{1}{2}$}; \node at (-3.5,0.5) {\scriptsize $x < -1$}; \node at (-3.5,1.5) {\scriptsize $x \geq -\frac{1}{2}$}; \draw (0,1.5) -- (2,1.5); \draw (-1,0.5) -- (-2.5,0.5); \draw[fill=black] (0,1.5) circle (0.07); \draw[fill=white] (-1,0.5) circle (0.07); \end{tikzpicture}$

In questo caso non esiste nessun intervallo in cui contemporaneamente ci sono entrambe le soluzioni: il sistema è quindi impossibile, ossia non ha soluzione. Di solito ciò viene indicato con l’insieme vuoto:

$\emptyset$

Possiamo quindi riprendere in mano la soluzione totale:

$\begin{align*} \begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 1+2x \geq (x+1)^2 \end{cases} & \vee \qquad \begin{cases} 1+2x \geq 0 \\ x+1 < 0 \end{cases} \\ \text{Soluzione sistema 1:}\qquad & \qquad \text{Soluzione sistema 2:} \\ x= 0 \qquad & \vee \qquad \emptyset \end{align*}$

Cosa dobbiamo fare con le due soluzioni che abbiamo trovato? Quel simbolo che sta in mezzo ai due sistemi ( $\vee$ ) equivale a una "o", nel senso che ci vanno bene tutte e due le soluzioni: dobbiamo quindi prendere l’unione delle due soluzioni che troviamo. La soluzione finale del nostro esercizio è quindi

Memo: l’insieme vuoto unito a qualsiasi cosa mi restituisce sempre la stessa cosa:

$\emptyset \; \vee \; * \; = \; *$

dove è qualsiasi cosa.