A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni fratte.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#studio #segno

Risolvi la seguente disequazione fratta numerica:

$\frac{(x+1)(x+3)(x-6)}{x^2}<0$

Soluzione

Visto che abbiamo una frazione, la prima cosa da fare è imporre le condizioni di esistenza (C.E.), ossia imporre che la frazione esiste. Una frazione esiste se il suo denominatore è diverso da zero, quindi se

$x^2 \neq 0$

Ricordando che un quadrato è diverso da zero solo se l’argomento è diverso da zero, si ha

$x \neq 0$

Nota: con "argomento" intendo ciò che viene elevato al quadrato. Se il denominatore fosse stato $(x-3)^2 \neq 0$ avrei ottenuto $x-3 \neq 0$ ossia $x \neq 3$ .

Quindi

$\text{C.E.}: \qquad x \neq 0$

Possiamo quindi procedere con lo studio del segno del numeratore e del denominatore separatamente. Infatti, chiedersi quando una frazione è minore (o maggiore) di zero, significa chiedersi che segno hanno numeratore e denominatore: se entrambi sono positivi (o entrambi negativi) la frazione è positiva dato che $+$ per $+$ (e $-$ per $-$ ) fa $+$ .

Indipendentemente dalla disuguaglianza iniziale (frazione $<$ di zero nel nostro caso), vado a studiare quando numeratore e denominatore sono positivi.

Studio del numeratore

Devo vedere quando $(x+1)(x+3)(x-6) > 0$ . Si tratta dello studio del segno di un prodotto, quindi vado a studiare singolarmente quando i fattori sono maggiori di zero.

$\text{Fattore 1}>0: x+1 > 0 \qquad \rightarrow \qquad x > -1$

$\text{Fattore 2}>0: x+3 > 0 \qquad \rightarrow \qquad x > -3$

$\text{Fattore 3}>0: x-6 > 0 \qquad \rightarrow \qquad x > +6$

Il passo successivo consiste nel costruire quello che io chiamo "castello dei segni": prima lo scrivo e poi lo spiego.

$\begin{tikzpicture} \draw (-5,0) -- (4,0); \draw (-3,-0.2) -- (-3,4); \draw (2,-0.2) -- (2,4); \node at (-3,-0.5) {-3}; \node at (2,-0.5) {6}; \draw (-5,1) -- (4,1); \draw (-5,2) -- (4,2); \draw (-5,3) -- (4,3); \draw (-1,-0.2) -- (-1,4); \node at (-1,-0.5) {-1}; \node at (-7,2.5) {Fattore 2:}; \node at (-7,1.5) {Fattore 3:}; \node at (-7,0.5) {Prodotto:}; \node at (-7,3.5) {Fattore 1:}; %fattore 2 \node at (-4,2.5) {$-$}; \node at (0.5,2.5) {$+$}; \node at (3,2.5) {$+$}; \node at (-2,2.5) {$+$}; %fattore 3 \node at (-4,1.5) {$-$}; \node at (0.5,1.5) {$-$}; \node at (3,1.5) {$+$}; \node at (-2,1.5) {$-$}; %prodotto \node at (-4,0.5) {$-$}; \node at (-2,0.5) {$+$}; \node at (3,0.5) {$+$}; \node at (0.5,0.5) {$-$}; % \node at (-3,2.5) {o}; \node at (-3,0.5) {o}; \node at (2,1.5) {o}; \node at (2,0.5) {o}; \node at (-1,0.5) {o}; \node at (-1,3.5) {o}; %fattore 1 \node at (-4,3.5) {$-$}; \node at (0.5,3.5) {$+$}; \node at (3,3.5) {$+$}; \node at (-2,3.5) {$-$}; \end{tikzpicture}$

Sostanzialmente si scrivono i numeri trovati ai passi precedenti e poi, in riga, si scrivono i risultati ottenuti: metto una $+$ nell’intervallo trovato e una $-$ nel resto. Per esempio, ho trovato che il Fattore 1 è positivo per $x>-1$ , quindi metto una $+$ negli $x$ maggiori di $-1$ e una $-$ per gli $x$ minori di $-1$ . Allo stesso modo, ho trovato che il Fattore 2 è positivo per $x>-3$ , quindi metto una $+$ per gli $x$ maggiori di $-3$ e una $-$ per gli $x$ minori di $-3$ . Uguale anche per il Fattore 3. I pallini vuoti nel grafico stanno a significare che gli estremi, ossia $-3$ , $-2$ e $+6$ sono esclusi. Nella terza riga, quella chiamata Prodotto, vado a moltiplicare i segni delle tre righe che stanno sopra, riportando anche se gli estremi sono inclusi o esclusi. Ed è in quest’ultima riga che vado a leggere la soluzione dell’esercizio. L’esercizio mi chiedeva quando la moltiplicazione fra questi tre fattori è positiva, ossia $>$ di zero. Il risultato sarà quindi dato da tutti gli intervalli in cui il prodotto ha il segno $+$ (ossia prodotto positivo, ossia prodotto maggiore di zero). Prendere tutti gli intervalli significa farne l’unione (in simboli $\cup$ o $\vee$ ). La soluzione è quindi

$-3 < x < -1 \qquad \vee \qquad x > 6$

Il numeratore è quindi positivo per: $-3 < x < -1 \vee x > 6$ .

Studio del denominatore

Analogamente al numeratore, vado a chiedermi quando il denominatore è positivo. Devo quindi risolvere $x^2 >0$ .

Ricordando che i quadrati sono sempre maggiori o uguali di zero, la disuguaglianza è sempre risolta, tranne quando si annulla l’argomento. In termini matematici,

$x^2 > 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R} \; \text{con} \; x \neq 0$

MEMO: Siccome so che di solito queste disuguaglianze sono sempre un casino, ricordo qui le soluzioni in generale:

$\begin{align*} 1.\qquad(\ast(x))^2 & \geq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R} \\ 2.\qquad(\ast(x))^2 & > 0 \rightarrow \ast(x) \neq 0 \\ 3.\qquad(\ast(x))^2 & \leq 0 \rightarrow \ast(x) = 0 \\ 4.\qquad(\ast(x))^2 & < 0 \rightarrow \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{align*}$

dove $\ast(x)$ è qualsiasi cosa scritta in funzione di $x$ . Esempi:

$(x-7)^2 \leq 0$ appartiene al caso 3. e ha come soluzione $x-7 = 0$ .

$(3x+1)^2 > 0$ appartiene al caso 2. e ha come soluzione $3x+1 \neq 0$ .

La soluzione per il denominatore maggiore di zero è quindi $x \neq 0$ .

Studio della frazione

Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Si costruisce sempre il "castello dei segni".

Ricordo che

$\begin{align*} \text{Numeratore}> 0: & \qquad -3 < x < -1 \qquad \vee \qquad x > 6 \\ \text{Denominatore}> 0: & \qquad x \neq 0 \end{align*}$

Quindi:

$\begin{tikzpicture} \draw (-5,0) -- (4,0); \draw (-3,-0.2) -- (-3,3); \draw (0,-0.2) -- (0,3); \draw (2,-0.2) -- (2,3); \node at (-3,-0.5) {-3}; \node at (2,-0.5) {6}; \draw (-5,1) -- (4,1); \draw (-5,2) -- (4,2); \draw (-1,-0.2) -- (-1,3); \node at (-1,-0.5) {-1}; \node at (0,-0.5) {0}; \node at (-7,2.5) {Numeratore:}; \node at (-7,1.5) {Denominatore:}; \node at (-7,0.5) {Frazione:}; %numeratore \node at (-4,2.5) {$-$}; \node at (-2,2.5) {$+$}; \node at (3,2.5) {$+$}; \node at (1,2.5) {$-$}; \node at (-0.5,2.5) {$-$}; %denominatore \node at (-4,1.5) {$+$}; \node at (-2,1.5) {$+$}; \node at (3,1.5) {$+$}; \node at (1,1.5) {$+$}; \node at (-0.5,1.5) {$+$}; %frazione \node at (-4,0.5) {$-$}; \node at (-2,0.5) {$+$}; \node at (3,0.5) {$+$}; \node at (1,0.5) {$-$}; \node at (-0.5,0.5) {$-$}; % \node at (-3,2.5) {o}; \node at (-3,2.5) {o}; \node at (2,2.5) {o}; \node at (2,2.5) {o}; \node at (-1,2.5) {o}; \node at (0,1.5) {o}; % \node at (-3,0.5) {o}; \node at (-3,0.5) {o}; \node at (2,0.5) {o}; \node at (2,0.5) {o}; \node at (-1,0.5) {o}; \node at (0,0.5) {o}; \end{tikzpicture}$

Inserisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una $+$ negli intervalli dove il numeratore è positivo e una $-$ nel resto. Stessa cosa per il denominatore: visto che il denominatore è maggiore di zero quando $x\neq 0$ , significa che ho una $+$ dappertutto (denominatore sempre positivo), ma mi devo ricordare di escludere lo zero, ossia di mettere un pallino vuoto su zero. Nell’ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale. L’esercizio mi chiedeva di trovare quando la frazione è negativa ( $<0$ ), quindi la soluzione sarà data da tutti gli intervalli in cui ho un segno $-$ nella riga Frazione:

$x < -3 \qquad \vee \qquad -1 < x < 0 \qquad \vee \qquad 0<x<6$

o, equivalentemente,

$x < -3 \qquad \vee \qquad -1 < x < 6, x \neq 0$

NOTA: ufficialmente l’esercizio non è finito qui. L’ultimo step sarebbe quello di andare a confrontare la soluzione trovata con le C.E.: tradotto, se nella soluzione trovata sono inclusi anche valori che invece le C.E. mi escludono, devo togliere questi valori dalla soluzione finale. Nel nostro caso le C.E. mi dicevano $x\neq0$ . Nella soluzione che ho trovato lo zero non c’è (cioè $0$ non fa parte della soluzione che ho trovato), quindi la soluzione è direttamente quella finale.

Esempio di cosa intendo: se avessi delle C.E. del tipo $x \neq 1$ e dallo studio della frazione ottengo come risultato $-3<x<5$ , la mia soluzione finale totale dell’esercizio sarebbe $-3<x<1 \vee 1 < x <5$ , ossia devo togliere $1$ dalla soluzione che ho trovato perchè le C.E. mi impongono che $x$ non può essere uguale a $1$ .

Esercizio 2

Difficoltà:

#studio #segno

Risolvi la seguente disequazione fratta

$-\frac{2}{x-3}-x < 0$

Soluzione

Come prima cosa, avendo delle frazioni con l’incognita a denominatore, poniamo le condizioni di esistenza (C.E.): in questo caso dobbiamo imporre che la frazione esista, quindi che il suo denominatore sia diverso da zero.

$\begin{align*} \text{C.E.:} \; x-3 \neq 0 \rightarrow x \neq 3 \end{align*}$

Per poter poi risolvere la disequazione fratta, dobbiamo arrivare ad avere una forma del tipo

$\frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0$

ossia un’unica frazione a sinistra e zero a destra. Andiamo quindi a sommare i termini a sinistra

$\begin{align*} -\frac{2}{x-3}-x & < 0 \\ \frac{-2-x(x-3)}{x-3} & < 0 \\ \frac{-2-x^2+3x}{x-3} & < 0 \\ \frac{-x^2+3x-2}{x-3} & < 0 \end{align*}$

Ci stiamo quindi chiedendo quando quella frazione è negativa: per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi, alla fine, moltiplicare i segni. Indipendentemente dal verso della disuguaglianza, vado quindi a vedere quando numeratore e denominatore sono positivi.

Studio del numeratore

Inizio chiedendomi quando il numeratore è positivo:

Abbiamo ottenuto quindi una disequazione di secondo grado.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Quindi

$\begin{align*} -x^2+3x-2 & > 0 \\ (-1) \cdot (-x^2+3x-2) & > 0 \cdot (-1) \\ x^2-3x+2 \; & \textcolor{red}{<} \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2-3x+2 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{9-4(1)(2)}}{2(1)} \\ & = \frac{3 \pm 1}{2} \\ & = \begin{cases} 2 \\ 1 \end{cases} & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; \textcolor{red}{<} & \rightarrow \text{intervallo interno:} \\ 1 < \; & \; x \; < 2 \end{align*}$

Abbiamo quindi trovato che il numeratore è positivo quando .

Studio del denominatore

Mi chiedo ora quando il denominatore è positivo:

$\begin{align*} x-3 & > 0 \\ x & > 3 \end{align*}$

Studio della frazione

Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Andiamo a costruire il "castello dei segni":

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) -- (4,0); \draw (1,2.7) -- (1,-0.2); \draw (2,2.7) -- (2,-0.2); \draw (3,2.7) -- (3,-0.2); \node at (1,-0.5) {$1$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \node at (3,-0.5) {$3$}; \node at (-2,0.5) {\small Frazione:}; \node at (-3,1.5) {\small Denominatore: $x > 3$}; \node at (-3,2.5) {\small Numeratore: $1<x<2$}; \draw (0,1) -- (4,1); \draw (0,2) -- (4,2); \node at (1.5,2.5) {$+$}; \node at (0.5,2.5) {$-$}; \node at (2.5,2.5) {$-$}; \node at (3.5,2.5) {$-$}; \node at (1.5,1.5) {$-$}; \node at (0.5,1.5) {$-$}; \node at (2.5,1.5) {$-$}; \node at (3.5,1.5) {$+$}; \node at (1.5,0.5) {$-$}; \node at (0.5,0.5) {$+$}; \node at (2.5,0.5) {$+$}; \node at (3.5,0.5) {$-$}; \node at (1,2.5) {o}; \node at (2,2.5) {o}; \node at (3,1.5) {o}; \node at (1,0.5) {o}; \node at (2,0.5) {o}; \node at (3,0.5) {o}; \end{tikzpicture}$

Inerisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una negli intervalli dove il numeratore è positivo e una nel resto. Stessa cosa per il denominatore: in generale, con i pallini vuoti indico il fatto che gli estremi sono esclusi. Nell’ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale.

Il mio obiettivo era quello di scoprire quando la frazione è negativa: la soluzione sarà quindi data da tutti gli intervalli in cui ho un segno nella riga Frazione:

$1 < x < 2 \; \vee \; x > 3$

L’ultimo step consiste nel confrontare la soluzione trovata con le C.E.:

$\begin{align*} \begin{cases} x \neq 3 \\ 1 < x < 2 \vee x > 3 \end{cases} \end{align*}$

La soluzione finale è quindi

$1 < x < 2 \; \vee \; x > 3$

Esercizio 3

Difficoltà:

#studio #segno

Risolvi la seguente disequazione fratta

$\frac{2x^2+3x+5}{x^2-x+3} < -1$

Soluzione

Come prima cosa, avendo delle frazioni con l’incognita a denominatore, poniamo le condizioni di esistenza (C.E.): in questo caso dobbiamo imporre che la frazione esista, quindi che il suo denominatore sia diverso da zero.

$\begin{align*} \text{C.E.:} \; x^2-x+3 \neq 0 \end{align*}$

Risoluzione:

$\begin{align*} x^2-x+3 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{+1\pm \sqrt{1-12}}{2} \\ & = \frac{1 \pm \sqrt{\textcolor{red}{-11}}}{2} \end{align*}$

Attenzione: abbiamo ottenuto che il $\textcolor{red}{\Delta} = - 11$ è negativo. Ciò significa che l’equazione che volevamo risolvere non ha soluzione, ossia non esistono valori di che annullano il denominatore. In altre parole, qualunque valore di io inserisca in ottengo sempre un numero diverso da zero. Quindi non ho condizioni di esistenza:

$\begin{align*} \text{C.E.:} \; x^2-x+3 \neq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R} \end{align*}$

Per poter poi risolvere la disequazione fratta, dobbiamo arrivare ad avere una forma del tipo

$\frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0$

ossia un’unica frazione a sinistra e zero a destra. Andiamo quindi a sommare i termini a sinistra

$\begin{align*} \frac{2x^2+3x+5}{x^2-x+3}+1 & < 0 \\ \frac{2x^2+3x+5+x^2-x+3}{x^2-x+3} & < 0 \\ \frac{3x^2+2x+8}{x^2-x+3} & < 0 \end{align*}$

Ci stiamo quindi chiedendo quando quella frazione è negativa: per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi, alla fine, moltiplicare i segni. Indipendentemente dal verso della disuguaglianza, vado quindi a vedere quando numeratore e denominatore sono positivi.

Studio del numeratore

Inizio chiedendomi quando il numeratore è positivo:

Abbiamo ottenuto quindi una disequazione di secondo grado.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Quindi

$\begin{align*} 3x^2+2x+8 & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ 3x^2+2x+8 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(3)(8)}}{2(3)} \\ & = \frac{-2 \pm \sqrt{-92}}{2} \\ \end{align*}$

Abbiamo quindi trovato che il delta è negativo: l’equazione associata non ha mai soluzioni, ma noi volevamo risolvere la disequazione. Cosa possiamo dire su quella?

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta negativo: $\Delta < 0$

Allora ha soluzione $\forall \; x \in \mathbb{R}$ , mentre ha soluzione $\nexists \; x \in \mathbb{R}$ . A parole, se e delta è negativo, l’espressione è sempre positiva: quindi la disuguaglianza con il maggiore è sempre verificata mentre non lo è mai quella con il minore.

Nel nostro caso e vogliamo : la disuguaglianza quindi è sempre verificata (soluzione: $\forall \; x \in \mathbb{R}$ ). Ciò significa quindi che il nostro numeratore è sempre positivo.

Studio del denominatore

Mi chiedo ora quando il denominatore è positivo:

$\begin{align*} x^2-x+3 & > 0 \end{align*}$

Andando a studiare l’equazione associata (che avevamo fatto prima per determinare le C.E.), anche qui troviamo un delta negativo: e vogliamo , disequazione sempre verificata con lo stesso ragionamento fatto per il numeratore. Abbiamo quindi trovato che anche il denominatore è sempre positivo.

Studio della frazione

Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Andiamo a costruire il "castello dei segni":

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) -- (2,0); \node at (-2,0.5) {\small Frazione:}; \node at (-2,1.5) {\small Denominatore:}; \node at (-2,2.5) {\small Numeratore:}; \draw (0,1) -- (2,1); \draw (0,2) -- (2,2); \node at (1,2.5) {$+$}; \node at (1,1.5) {$+$}; \node at (1,0.5) {$+$}; \end{tikzpicture}$

Inerisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una negli intervalli dove il numeratore è positivo e una nel resto. Stessa cosa per il denominatore: in generale, con i pallini vuoti indico il fatto che gli estremi sono esclusi. Nell’ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale.

Dal momento che sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, avrò un segno su tutta la riga del numeratore e su tutta la riga del denominatore.

Il mio obiettivo era quello di scoprire quando la frazione è negativa: la soluzione sarà quindi data da tutti gli intervalli in cui ho un segno nella riga Frazione: nel nostro caso non abbiamo segni nella riga frazione, quindi possiamo concludere che la frazione non è mai negativa. La disequazione quindi non ha soluzione

$\nexists \; x \in \mathbb{R}$

In generale, l’ultimo step consisterebbe nel confrontare la soluzione trovata con le C.E., che però in questo caso non abbiamo.

Esercizio 4

Difficoltà:

#studio #segno

Risolvi la seguente disequazione fratta

$\frac{2x}{2x+2} + \frac{3x-2}{x^2+2x+1} + \frac{2-x}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} \geq 0$

Soluzione

Come prima cosa, avendo delle frazioni con l’incognita a denominatore, poniamo le condizioni di esistenza (C.E.): in questo caso dobbiamo imporre che tutte le frazioni esistano, quindi che ogni denominatore sia diverso da zero.

$\begin{align*} \text{C.E.:} \; \begin{cases} 2x+2 \neq 0 \\ x^2+2x+1 \neq 0 \\ (x+1)^2 \neq 0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases} \end{align*}$

Risoluzione di ogni singola condizione:

$\begin{align*} \text{1.} \qquad 2x+2 & = 0 \\ 2x & = -2 \\ \frac{2x}{2} & = \frac{-2}{2} \\ x & = -1 \\ \text{2.} \qquad x^2+2x+1 & = 0 \\ (x+1)^2 & = 0 \\ x + 1 & = 0 \\ x & = -1 \\ \text{3.} \qquad (x+1)^2 & = 0 \\ x+1 & = 0 \\ x & = -1 \\ \text{4.} \qquad x+1 & = 0 \\ x & = -1 \end{align*}$

Abbiamo quindi trovato un solo valore che annulla i denominatori: . Le condizioni di esistenza sono quindi

$\begin{align*} \text{C.E.:} \; x \neq -1 \end{align*}$

Per poter poi risolvere la disequazione fratta, dobbiamo arrivare ad avere una forma del tipo

$\frac{A(x)}{B(x)} \gtrless 0$

ossia un’unica frazione a sinistra e zero a destra. Andiamo quindi a sommare i termini a sinistra

$\begin{align*} \frac{2x}{2x+2} + \frac{3x-2}{x^2+2x+1} + \frac{2-x}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} & \geq 0 \\ \frac{2x}{2(x+1)} + \frac{3x-2}{(x+1)^2} + \frac{2-x}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} & \geq 0 \\ \frac{2x\cdot (x+1) + (3x-2)\cdot (2) + (2-x) \cdot (2) + (1) \cdot (2(x+1))}{2(x+1)^2} & \geq 0 \\ \frac{2x^2+2x+6x-4+4-2x+2x+2}{2(x+1)^2} & \geq 0 \\ \frac{2x^2+8x+2}{2(x+1)^2} & \geq 0 \end{align*}$

Ci stiamo quindi chiedendo quando quella frazione è positiva: per poter rispondere a questa domanda, dobbiamo andare a studiare il segno del numeratore e del denominatore separatamente e poi, alla fine, moltiplicare i segni. Indipendentemente dal verso della disuguaglianza, vado quindi a vedere quando numeratore e denominatore sono positivi.

Studio del numeratore

Inizio chiedendomi quando il numeratore è positivo: siccome mi sto chiedendo quando la frazione è $\geq$ di zero (c’è anche l’uguale), mantengo l’uguale anche nello studio del numeratore.

$2x^2+8x+2 \geq 0$

Visto che tutti i coefficienti sono multipli di due, raccolgo un 2 e divido tutto per 2:

$\begin{align*} 2x^2+8x+2 & \geq 0 \\ 2(x^2+4x+1) & \geq 0 \\ \frac{2(x^2+4x+1)}{2} & \geq \frac{0}{2} \\ x^2+4x+1 & \geq 0 \end{align*}$

Abbiamo ottenuto quindi una disequazione di secondo grado.

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Quindi

$\begin{align*} x^2+4x+1 & \; \textcolor{red}{\geq} \; 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ x^2+4x+1 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4(1)(1)}}{2(1)} \\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 3}}{2} \\ & = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = \frac{2(-2 \pm \sqrt{3})}{2} \\ & = -2 \pm \sqrt{3} \\ \text{poichè avevo} \; \textcolor{red}{\geq} & \rightarrow \text{intervalli esterni:} \\ x \leq -2-\sqrt{3} & \; \; \vee \; \; x \geq -2+\sqrt{3} \end{align*}$

Abbiamo quindi trovato che il numeratore è positivo quando $x \leq -2-\sqrt{3}$ e quando $x \geq -2+\sqrt{3}$ .

Studio del denominatore

Mi chiedo ora quando il denominatore è positivo: sebbene ci stessimo chiedendo quando la frazione è $\geq$ di zero (c’è anche l’uguale), nel denominatore l’uguaglianza non si mantiene mai dal momento che i denominatori non possono essere uguali a zero.

$\begin{align*} 2(x+1)^2 & > 0 \end{align*}$

Anche qui divido tutto per due:

$\begin{align*} 2(x+1)^2 & > 0 \\ \frac{2(x+1)^2}{2} & > \frac{0}{2} \\ (x+1)^2 & > 0 \end{align*}$

Ricordando che i quadrati sono sempre maggiori o uguali a zero, la disuguaglianza è sempre verificata tranne quando si annulla l’argomento del quadrato. Ossia

$(x+1)^2 > 0 \rightarrow x + 1 \neq 0$

La soluzione di è quindi $x \neq -1$ . Abbiamo trovato che il denominatore è sempre positivo tranne per (dove la frazione non esiste).

MEMO: Siccome so che di solito queste disequazioni sono sempre un casino, ricordo qui le soluzioni in generale:

$(*(x))^2 \geq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R}$

$(*(x))^2 > 0 \rightarrow *(x) \neq 0$

$(*(x))^2 \leq 0 \rightarrow *(x) = 0$

$(*(x))^2 < 0 \rightarrow \nexists \; x \in \mathbb{R}$

dove è qualsiasi cosa scritta in funzione di . Esempi:

$(x-7)^2 \leq 0$ appartiene al caso 3. e ha soluzione ;

appartiene al caso 2. e ha soluzione $3x+1 \neq 0$ .

Studio della frazione

Ora che abbiamo studiato numeratore e denominatore, possiamo mettere tutto insieme e studiare il segno della frazione. Andiamo a costruire il "castello dei segni":

$\begin{tikzpicture} \draw (0,0) -- (5,0); \draw (1,-0.2) -- (1,3); \draw (2.5,-0.2) -- (2.5,3); \draw (4,-0.2) -- (4,3); \node at (1,-0.5) {\small $-2-\sqrt{3}$}; \node at (2.5,-0.5) {\small $-1$}; \node at (4,-0.5) {\small $-2+\sqrt{3}$}; \node at (-2,0.5) {\small Frazione:}; \node at (-2,1.5) {\small Denominatore:}; \node at (-2,2.5) {\small Numeratore:}; \draw (0,1) -- (5,1); \draw (0,2) -- (5,2); \node at (0.5,2.5) {$+$}; \node at (1.75,2.5) {$-$}; \node at (3.25,2.5) {$-$}; \node at (4.5,2.5) {$+$}; \draw[fill = black] (1,2.5) circle (0.07); \draw[fill = black] (4,2.5) circle (0.07); \node at (0.5,1.5) {$+$}; \node at (1.75,1.5) {$+$}; \node at (3.25,1.5) {$+$}; \node at (4.5,1.5) {$+$}; \draw (2.5,1.5) circle (0.07); \node at (0.5,0.5) {$+$}; \node at (1.75,0.5) {$-$}; \node at (3.25,0.5) {$-$}; \node at (4.5,0.5) {$+$}; \draw[fill = black] (1,0.5) circle (0.07); \draw[fill = black] (4,0.5) circle (0.07); \draw (2.5,0.5) circle (0.07); \end{tikzpicture}$

Inerisco in ogni riga i risultati ottenuti in precedenza: metto una negli intervalli dove il numeratore è positivo e una nel resto. Stessa cosa per il denominatore: in generale, con i pallini pieni indico il fatto che gli estremi sono inclusi. Nell’ultima riga, quella chiamata Frazione, si moltiplicano fra loro i segni delle due righe precedenti; è inoltre in questa riga che leggo il risultato finale.

Il mio obiettivo era quello di scoprire quando la frazione è positiva: la soluzione sarà quindi data da tutti gli intervalli in cui ho un segno nella riga Frazione: nel nostro caso $x \leq -2-\sqrt{3} \; \vee \; x \geq -2+\sqrt{3}$ .

ATTENZIONE: l’esercizio non è finito qui. L’ultimo step consiste nel confrontare la soluzione trovata con le C.E.: se nelle condizioni di esistenza ho dei valori che sono inclusi nella soluzione che ho trovato, devo andare ad escluderli dalla soluzione.

Non è però il nostro caso: le C.E. ci dicevano $x \neq -1$ , ma non è incluso nella soluzione che abbiamo trovato, che è quindi la soluzione finale:

$x \leq -2-\sqrt{3} \; \vee \; x \geq -2+\sqrt{3}$

Esempio di cosa intendo con confrontare la soluzione finale con le C.E…

Supponiamo che le C.E. siano $x \neq \pm 1$ .

Faccio tutto lo studio della frazione e nella riga Frazione leggo che il mio risultato è $x \leq -2 \vee x \geq 0$ . In questo caso questa non è la mia soluzione finale: infatti c’è che devo escludere per C.E…

Graficamente:

$\begin{tikzpicture} \draw (-3,0) -- (2,0); \draw (-1,-0.2) -- (-1,0.2); \draw (-2,-0.2) -- (-2,0.2); \draw (0,-0.2) -- (0,0.2); \draw (1,-0.2) -- (1,0.2); \node at (-2,-0.5) {-2}; \node at (-1,-0.5) {-1}; \node at (0,-0.5) {0}; \node at (1,-0.5) {1}; \draw[red] (-2,0.5) -- (-3,0.5); \draw[red] (0,0.5) -- (2,0.5); \draw[fill = red] (-2,0.5) circle (0.05); \draw[fill = red] (0,0.5) circle (0.05); \draw[fill = white] (-1,0.5) circle (0.05); \draw[fill = white] (1,0.5) circle (0.05); \draw[->] (-1,1) -- (-1,0.7); \node at (-1,1.2) {\small C.E.}; \draw[->] (1,1) -- (1,0.7); \node at (1,1.2) {\small C.E.}; \node[red] at (3,0.5) {soluzione}; \end{tikzpicture}$

La mia soluzione finale è quindi

$x \leq -2 \; \vee \; 0 \leq x < 1 \; \vee \; x > 1$

o, equivalentemente,

$x \leq -2 \; \vee \; x \geq 0,\; x \neq 1$