A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni con esponenziali e logaritmi.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#potenze #base #uguale

Risolvi la seguente disequazione

$\left( \frac{4}{5} \right)^2 \left(\frac{5}{4} \right)^x \leq \sqrt[x+2]{\frac{5}{4}}$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo le proprietà delle potenze:

$\begin{align*} A^n \cdot A^m & = A^{n+m} \\ A^n : A^m = \frac{A^n}{A^m} & = A^{n-m} \\ A^n \cdot B^n & = (A \cdot B)^n \\ A^n : B^n = \frac{A^n}{B^n} & = \left( \frac{A}{B}\right)^n \\ (A^n)^m & = A^{n \cdot m} \end{align*}$

Come seconda cosa notiamo subito che abbiamo un radicale, ossia un termine con radice. Dobbiamo quindi mettere le condizioni di esistenza su quel termine. Visto che l’incognita sta a indice della radice, dobbiamo imporre che esso sia positivo e naturale. In altre parole, le condizioni di esistenza (C.E.) sono

$x+2 > 0$

$x+2 \in \mathbb{N}$

La seconda condizione di traduce semplicemente restringendo le $x$ all’insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ invece che considerare $x$ nell’insieme $\mathbb{R}$ .

Visto che a destra della disuguaglianza abbiamo come base $\frac{5}{4}$ , vediamo di trasformare tutto in questa base anche a sinistra. In particolare ci basta riscrivere la potenza con base $\frac{4}{5}$ come

$\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \left(\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^{-2}$

Inoltre ricordando che

$\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

si ha

$\sqrt[x+2]{\frac{5}{4}} = \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{x+2}}$

Quindi la disuguaglianza diventa

$\left(\frac{5}{4}\right)^{-2} \left(\frac{5}{4} \right)^x \leq \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{x+2}}$

e per la prima proprietà delle potenze

$\left(\frac{5}{4} \right)^{x-2} \leq \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{x+2}}$

Poichè le potenze hanno base maggiore di 1, dalla disequazione precedente otteniamo una disequazione equivalente fra gli esponenti lasciando lo stesso verso:

$x-2 \leq \frac{1}{x+2}$

Siamo quindi passati a una disequazione fratta: portiamo tutto a sinistra e facciamo denominatore comune.

$\begin{align*} x-2 & \leq \frac{1}{x+2} \\ x-2 -\frac{1}{x+2} & \leq 0 \\ \frac{x(x+2)-2(x+2)-1}{x+2} & \leq 0 \\ \frac{x^2+2x-2x-4-1}{x+2} & \leq 0 \\ \frac{x^2-5}{x+2} & \leq 0 \end{align*}$

Passiamo quindi allo studio di numeratore e denominatore singolarmente.

STUDIO NUMERATORE

Studio quando

$x^2-5 \geq 0$

Ottengo

$\begin{align*} x^2 - 5 & \geq 0 \\ x^2 & \geq 5 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \; \text{associata:} \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ \text{avevo} \geq & \Rightarrow \text{intervalli esterni} \\ & \downarrow \\ x \leq -\sqrt{5} & \cup x \geq \sqrt{5} \end{align*}$

STUDIO DENOMINATORE

Studio quando

$x +2 > 0$

ossia si ha direttamente

$x > -2$

STUDIO FRAZIONE

Vado quindi a costruire il castello dei segni: nella prima riga scrivo quando il numeratore è positivo mettendo una + negli intervalli trovati ai passi precedenti. Nella seconda riga faccio la stessa cosa con il denominatore. Infine, nella terza riga moltiplico i segni delle due righe precedenti e vado a selezionare gli intervalli in cui ho il segno - dato che volevo andare a vedere quando la frazione è negativa.

$\begin{tikzpicture} \draw (-3,0) -- (3,0); \draw (-2,3) -- (-2,-0.2); \draw (-1,3) -- (-1,-0.2); \draw (2,3) -- (2,-0.2); \node at (-2,-0.5) {$-\sqrt{5}$}; \node at (-1,-0.5) {$-2$}; \node at (2,-0.5) {$\sqrt{5}$}; \draw (-3,2) -- (3,2); \draw (-3,1) -- (3,1); %Numeratore \node at (-5,2.5) {Numeratore:}; \node at (-2.5,2.5) {$+$}; \node at (-1.5,2.5) {$-$}; \node at (0.5,2.5) {$-$}; \node at (2.5,2.5) {$+$}; \draw [fill = black](-2,2.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](2,2.5) circle (0.07cm); %Denominatore \node at (-5,1.5) {Denominatore:}; \node at (-2.5,1.5) {$-$}; \node at (-1.5,1.5) {$-$}; \node at (0.5,1.5) {$+$}; \node at (2.5,1.5) {$+$}; \draw(-1,1.5) circle (0.07cm); %Frazione \node at (-5,0.5) {Frazione:}; \node at (-2.5,0.5) {$-$}; \node at (-1.5,0.5) {$+$}; \node at (0.5,0.5) {$-$}; \node at (2.5,0.5) {$+$}; \draw [fill = black](-2,0.5) circle (0.07cm); \draw [fill = black](2,0.5) circle (0.07cm); \draw(-1,0.5) circle (0.07cm); \end{tikzpicture}$

La frazione è negativa quindi negli intervalli

$x \leq -\sqrt{5} \vee -2 < x \leq \sqrt{5}$

Devo però ricordami ora che tutto il problema aveva delle C.E., e in particolare queste consistevano in $x \in \mathbb{Z}$ e $x > -2$ . Tenendo conto di queste restrizioni, devo quindi escludere l’intervallo $x \leq -\sqrt{5}$ e la soluzione finale è

$-2 < x \leq \sqrt{5}, x \in \mathbb{Z}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#logaritmi #base #uguale

Risolvi la seguente disequazione

$\log_3(x^2-2x) > 1$

Soluzione

Come prima cosa devo imporre le condizioni di esistenza (C.E.): affinchè la disequazione abbia senso il logaritmo deve esistere, e ciò avviene quando il suo argomento è positivo.

$\begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad x^2-2x > 0 \end{align*} \begin{align*} x^2-2x & > 0 \\ x(x-2) & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x(x-2) & = 0 \\ x = 0 \; & \vee \; x = 2 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} & >, \; \text{intervalli esterni} \\ x < 0 \; & \cup \; x > 2 \end{align*} \begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad x < 0 \; \cup \; x > 2 \end{align*}$

Una volta trovate le condizioni di esistenza, posso andare a risolvere la disequazione. Poichè la base del logaritmo è un numero maggiore di , nel momento in cui "tolgo il logaritmo" il verso della disuguaglianza non cambia.

$\begin{align*} \log_3(x^2-2x) & > 1 \\ x^2-2x & > 3^1 \\ x^2-2x-3 & > 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \; \text{associata} \\ x^2-2x-3 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2} = \frac{2\pm 4}{2}\\ x = 3 \; & \vee \; x = -1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} & >, \; \text{intervalli esterni} \\ x < -1 \; & \cup \; x > 3 \end{align*}$

L’ultimo step da fare è intersecare le soluzioni trovate con le C.E.:

$\begin{cases} x < -1 \; & \cup \; \; \; x > 3 \\ x < 0 \; & \cup \; \; \; x > 2 \end{cases}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (-2,1) rectangle (-1,0); \shade[left color=yellow, right color = yellow] (3,1) rectangle (4,0); \draw (-2,0) -- (4,0); \draw[dashed] (-1,1) -- (-1,-0.2); \draw[dashed] (0,0.5) -- (0,-0.2); \draw[dashed] (2,0.5) -- (2,-0.2); \draw[dashed] (3,1) -- (3,-0.2); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0,-0.5) {$0$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \node at (3,-0.5) {$3$}; \draw (-2,1) -- (-1,1); \draw (3,1) -- (4,1); \draw (-2,0.5) -- (0,0.5); \draw (2,0.5) -- (4,0.5); \draw[black] (-1,1) circle (1.5pt); \draw[black] (0,0.5) circle (1.5pt); \draw[black] (2,0.5) circle (1.5pt); \draw[black] (3,1) circle (1.5pt); \end{tikzpicture}$

La soluzione è quindi

$x < -1 \; \cup \; x > 3$

Esercizio 3

Difficoltà:

#logaritmi #base #uguale

Risolvi la seguente disequazione

$\log_3\left(\log_3(x+1)\right) < 0$

Soluzione

Come prima cosa devo imporre le condizioni di esistenza (C.E.): affinchè la disequazione abbia senso tutti i logaritmi devono esistere, e ciò avviene quando i loro argomenti sono positivi.

$\begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad \begin{cases} \log_3(x+1) > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \end{align*}$

La prima condizione serve per l’esistenza del logaritmo "più esterno", mentre la seconda condizione serve per l’esistenza del logaritmo "più interno". In altre parole

$\textcolor{red}{\log_3}\left(\log_3(x+1)\right)$ ha come $\textcolor{red}{\text{argomento}} \; \log_3(x+1)$ che quindi deve essere positivo.

$\log_3\left(\textcolor{green}{\log_3}(x+1)\right)$ ha come $\textcolor{green}{\text{argomento}}$ che quindi deve essere positivo.

Risolviamo la prima disequazione.

$\begin{align*} \log_3(x+1) & > 0 \\ x+1 & > 3^0 \\ x+1 & > 1 \\ x & > 0 \end{align*}$

Le condizioni di esistenza sono quindi

$\begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad \begin{cases} x > 0 \\ x > -1 \end{cases} \end{align*} \begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (0,1) rectangle (2,0); \draw (-2,0) -- (2,0); \draw[dashed] (-1,0.5) -- (-1,-0.2); \draw[dashed] (0,1) -- (0,-0.2); \node at (-1,-0.5) {$-1$}; \node at (0,-0.5) {$0$}; \draw (-1,0.5) -- (2,0.5); \draw (0,1) -- (2,1); \draw[black] (-1,0.5) circle (1.5pt); \draw[black] (0,1) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} \begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad x > 0 \end{align*}$

Una volta trovate le condizioni di esistenza, posso andare a risolvere la disequazione. Poichè la base del logaritmo è un numero maggiore di , nel momento in cui "tolgo il logaritmo" il verso della disuguaglianza non cambia.

$\begin{align*} \log_3\left(\log_3(x+1)\right) & < 0 \\ \log_3(x+1) & < 3^0 \\ \log_3(x+1) & < 1 \\ x+1 & < 3^1 \\ x & < 3-1 \\ x & < 2 \end{align*}$

L’ultimo step da fare è intersecare la soluzione trovata con le C.E.:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 2 \end{cases}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (0,1) rectangle (2,0); \draw (-2,0) -- (4,0); \draw[dashed] (0,1) -- (0,-0.2); \draw[dashed] (2,0.5) -- (2,-0.2); \node at (0,-0.5) {$0$}; \node at (2,-0.5) {$2$}; \draw (0,1) -- (4,1); \draw (-2,0.5) -- (2,0.5); \draw[black] (0,1) circle (1.5pt); \draw[black] (2,0.5) circle (1.5pt); \end{tikzpicture}$

La soluzione è quindi

Esercizio 4

Difficoltà:

#logaritmi #incognita #ausiliaria

Risolvi la seguente disequazione

$\log_{\frac{1}{3}}^2(x) -4\log_{\frac{1}{3}}(x) +3 < 0$

Soluzione

Come prima cosa devo imporre le condizioni di esistenza (C.E.): affinchè la disequazione abbia senso tutti i logaritmi devono esistere, e ciò avviene quando i loro argomenti sono positivi.

$\begin{align*} \text{C.E.:} & \qquad x > 0 \end{align*}$

Una volta trovate le condizioni di esistenza, posso andare a risolvere la disequazione. Noto subito che la base del logaritmo è minore di , quindi nel momento in cui andrò a "togliere il logaritmo" devo ricordarmi di cambiare il verso della disuguaglianza.

Noto anche che i logaritmi all’interno della disequazione sono tutti pari a $\log_{\frac{1}{3}}(x)$ : procedo quindi per sostituzione. Pongo

$t = \log_{\frac{1}{3}}(x)$

e riscrivo la disequazione in :

Ho trasformato quindi la mia disequazione logaritmica in in una disequazione di secondo grado in . Vado a risolverla.

$\begin{align*} t^2 -4t +3 & < 0 \\ & \downarrow \\ \text{equazione} & \; \text{associata:} \\ t^2-4t+3 & = 0 \\ t_{1/2} & = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} \\ & = \frac{4 \pm 2}{2} \\ t = 3 & \vee t = 1 \\ & \downarrow \\ \text{poichè avevo} \; < & \; \text{, intervallo interno: } \\ 1 < t & < 3 \end{align*}$

Ora che abbiamo trovato la soluzione in , dobbiamo tornare indietro e trovare la soluzione in .

$\begin{align*} 1 < & \; t < 3 \\ & \downarrow \\ 1 < & \log_{\frac{1}{3}}(x) < 3 \end{align*}$

che è equivalente a

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x) > 1 \\ \log_{\frac{1}{3}}(x) < 3 \end{cases}$

Risolvo la prima disequazione del sistema.

$\begin{align*} \log_{\frac{1}{3}}(x) & > 1 \\ x & < \left(\frac{1}{3}\right)^1 \\ x & < \frac{1}{3} \end{align*}$

dove nel primo passaggio cambio il verso della disuguaglianza perchè la base del logaritmo è un numero minore di .

Risolvo la seconda disequazione del sistema.

$\begin{align*} \log_{\frac{1}{3}}(x) & < 3 \\ x & > \left(\frac{1}{3}\right)^3 \\ x & > \frac{1}{27} \end{align*}$

Rimetto insieme il sistema:

$\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > \frac{1}{27} \end{cases}$

ossia $\frac{1}{27} < x < \frac{1}{3}$ .

L’ultimo step da fare è intersecare la soluzione trovata con le C.E.:

$\begin{cases} x > 0 \\ \frac{1}{27} < x < \frac{1}{3} \end{cases}$

$\begin{tikzpicture} \shade[left color=yellow, right color = yellow] (1,1) rectangle (3,0); \draw (-1,0) -- (4,0); \draw[dashed] (0,1) -- (0,-0.2); \draw[dashed] (3,0.5) -- (3,-0.2); \draw[dashed] (1,0.5) -- (1,-0.2); \node at (0,-0.5) {$0$}; \node at (3,-0.5) {$\frac{1}{3}$}; \node at (1,-0.5) {$\frac{1}{27}$}; \draw (0,1) -- (4,1); \draw (1,0.5) -- (3,0.5); \draw[black] (0,1) circle (1.5pt); \draw[black] (3,0.5) circle (1.5pt); \draw[black] (1,0.5) circle (1.5pt); \end{tikzpicture}$

La soluzione è quindi

$\frac{1}{27} < x < \frac{1}{3}$

Esercizio 5

Difficoltà:

#potenze #base #uguale

Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario

$2^x < \frac{7^{x+1}}{2}$

Soluzione

Avendo esponenziali con basi diverse, escludo in metodo di sostituzione (introducendo un’incognita ausiliaria). L’obiettivo è quindi quello di utilizzare le proprietà delle potenze e arrivare a una forma del tipo $a^x \gtrless b$ con .

$\begin{align*} 2^x & < \frac{7^{x+1}}{2} \\ 2^x & < \frac{7^{x} \cdot 7^1}{2} \\ \frac{1}{7^x} \cdot 2^x & < \frac{7^{x} \cdot 7}{2} \cdot \frac{1}{7^x} \\ \frac{2^x}{7^x} & < \frac{7}{2} \\ \left(\frac{2}{7}\right)^x & < \left(\frac{2}{7}\right)^{-1} \\ & \downarrow \\ \text{base minore di uno:} & \; \; \text{inverto il verso} \\ x & > -1 \end{align*}$

Nota: posso tranquillamente dividere destra e sinistra per senza preoccuparmi del segno (e quindi del verso della disuguaglianza) perchè gli esponenziali sono sempre strettamente positivi.