A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni di secondo grado.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#intervalli

Risolvi la seguente disequazione

$(x-1)^2 + 10x -7(x+1) < 0$

Soluzione

Come prima cosa svolgo i conti in modo da arrivare a una forma del tipo $ax^2 + bx + c$ con $a>0$ . Ricordo che lo sviluppo del quadrato si svolge come

$(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$

Quindi ottengo

$x^2 + 1 -2x + 10x -7x - 7 < 0$

Sommo tutti i termini con lo stesso grado e ottengo

$x^2 + x -6 < 0$

Data la formula generale $ax^2 + bx + c$ , nel nostro caso abbiamo $a=+1$ , $b=+1$ , e $c=-6$ . Dato che $a$ è positivo, possiamo procedere e risolvere l’equazione associata:

$x^2 + x - 6 = 0$

Applico la formula

$x_{1/2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ottenendo

$x_{1/2} = \frac{-1\pm \sqrt{1-4(1)(-6)}}{2}$

Le due soluzioni sono quindi $x = 2$ e $x = -3$ .

Visto che volevamo l’espressione minore di zero, la regola mi dice che devo considerare l’intervallo interno ai due valori trovati. La soluzione è quindi

$-3 < x < 2$

MEMO: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

$x_1,x_2$ soluzioni dell’equazione associata con $x_2 < x_1$

Allora $ax^2+bx+c > 0$ ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre $ax^2+bx+c < 0$ ha soluzione $x_2 < x < x_1$ . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Esercizio 2

Difficoltà:

#intervalli

Risolvi la seguente disequazione

8(x^2+2-x) < x(16-x)

Soluzione

Come prima cosa svolgo i conti in modo da arrivare a una forma del tipo con .

$\begin{align*} 8x^2 + 16 -8x & < 16x-x^2 \\ 8x^2+16-8x -16x + x^2 & < 0 \\ 9x^2-24x +16 & < 0 \end{align*}$

Prima di partire diretti con l’equazione associata, guardiamo un attimo cosa abbiamo ottenuto e ci rendiamo conto che il termine a sinistra è un quadrato:

Ci stiamo quindi chiedendo quando un quadrato è strettamente minore di zero: è possibile che un quadrato sia minore di zero? NO, infatti quella disequazione non è mai verificata.

$\underbrace{(3x-4)^2}_{\text{sempre} \; \geq 0 } < 0 \rightarrow \text{impossibile}$

La disequazione quindi non ha soluzioni: $\nexists x \in \mathbb{R}$ .

MEMO: Siccome so che di solito queste disuguaglianze sono sempre un casino, ricordo qui le soluzioni in generale:

$\begin{align*} 1.\qquad(\ast(x))^2 & \geq 0 \rightarrow \forall \; x \in \mathbb{R} \\ 2.\qquad(\ast(x))^2 & > 0 \rightarrow \ast(x) \neq 0 \\ 3.\qquad(\ast(x))^2 & \leq 0 \rightarrow \ast(x) = 0 \\ 4.\qquad(\ast(x))^2 & < 0 \rightarrow \nexists \; x \in \mathbb{R} \end{align*}$

dove $\ast(x)$ è qualsiasi cosa scritta in funzione di $x$ .

Esercizio 3

Difficoltà:

#intervalli

Risolvi la seguente disequazione

$x(x+2\sqrt{2}) +2(\sqrt{2}x-6) < 3\sqrt{2}x$

Soluzione

Come prima cosa svolgo i conti in modo da arrivare a una forma del tipo con .

$\begin{align*} x(x+2\sqrt{2}) +2(\sqrt{2}x-6) & < 3\sqrt{2}x \\ x^2 + 2\sqrt{2}x +2\sqrt{2}x-12 & < 3\sqrt{2} x \\ x^2 + 2\sqrt{2}x +2\sqrt{2}x-12 - 3\sqrt{2} x & < 0 \\ x^2 +\sqrt{2} x - 12 & \; \textcolor{red}{<} \; 0 \end{align*}$

Nel nostro caso quindi $a = 1, b = \sqrt{2}, c = -12$ . Procediamo risolvendo l’equazione associata:

$\begin{align*} x^2 +\sqrt{2} x - 12 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2+48}}{2} \\ & = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{50}}{2} \\ & = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{5^2 \cdot 2}}{2} \\ & = \frac{-\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{2} \\ \end{align*}$

Le due soluzioni sono quindi $x_1 = \frac{-\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ e $x_2 = \frac{-\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{2} = \frac{-6\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2}$ .

Visto che volevamo l’espressione $\textcolor{red}{\text{minore}}$ di zero, la regola mi dice che devo considerare l’intervallo interno ai due valori trovati. La soluzione è quindi

$-3\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.

Esercizio 4

Difficoltà:

#intervalli

Risolvi la seguente disequazione

(x+1)^3 > x(x^2-2)+(x-2)(x+1)

Soluzione

Come prima cosa svolgo i conti in modo da arrivare a una forma del tipo con .

Memo:

$\begin{align*} (x+1)^3 & > x(x^2-2)+(x-2)(x+1) \\ x^3+3x^2+3x+1 & > x^3-2x+x^2+x-2x-2 \\ 3x^2+3x+1 & > x^2-3x-2 \\ 3x^2+3x+1 -x^2+3x+2 & > 0 \\ 2x^2+6x+3 & \; \textcolor{red}{>} \; 0 \end{align*}$

Nel nostro caso quindi . Procediamo risolvendo l’equazione associata:

$\begin{align*} 2x^2 +6x +3 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ & = \frac{-6 \pm \sqrt{36-24}}{4} \\ & = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} \\ & = \frac{-6 \pm \sqrt{2^2 \cdot 3}}{4} \\ & = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} \\ & = \frac{2(-3 \pm \sqrt{3})}{4} \\ & = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2} \end{align*}$

Le due soluzioni sono quindi $x_1 = \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$ e $x_2 = \frac{-3-\sqrt{3}}{2}$ .

Visto che volevamo l’espressione $\textcolor{red}{\text{maggiore}}$ di zero, la regola mi dice che devo considerare gli intervalli esterni ai due valori trovati. La soluzione è quindi

$x < \frac{-3-\sqrt{3}}{2}\; \; \vee \; \; x > \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$

Memo: Ricordiamo la regola in generale che ci dice. Se ho

espressione del tipo $ax^2+bx+c \gtrless 0$

$\textbf{a}>0$

delta positivo: $\Delta > 0$

soluzioni dell’equazione associata con

Allora ha soluzione $x < x_2 \cup x > x_1$ , mentre ha soluzione . A parole, se voglio l’espressione positiva devo prendere l’unione degli intervalli esterni ai due valori che ottengo nell’equazione associata. Se invece voglio l’espressione negativa, devo prendere l’intervallo interno. In entrambi i casi, escludo o includo i punti estremi se la disuguaglianza è stretta oppure no.