A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle disequazioni di primo grado.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#prodotti #notevoli

Risolvi la seguente disequazione intera numerica:

$(x-3)^2+3(3x+4) > (x+6)(x+3)+12$

Soluzione

Sviluppo il quadrato ricordando che, in generale, $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$ , e moltiplico i vari termini:

$x^2 + 9 - 6x + 9x + 12 > x^2 + 3x + 6x + 18 + 12$

Porto tutti i termini con la $x$ a sinistra, tutti quelli senza la $x$ a destra, ricordando che quando sposto i termini da una parte all’altra di una disuguaglianza devo cambiare il segno:

$x^2-6x+9x-x^2-3x-6x > +18+12-9-12$

Sommo i termini con lo stesso grado e vedo che il termini di secondo grado scompaiono:

$-6x > +9$

Per isolare la $x$ a sinistra, devo dividere sia il termine di sinistra che quello di destra per $-6$ (che è un numero negativo!), quindi devo cambiare anche il verso della disuguaglianza.

$\frac{-6x}{-6} > \frac{+9}{-6} \qquad \rightarrow \qquad x < - \frac{9}{6}$

Dato che, dividendo numeratore e denominatore per $3$ , si ha $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ , la soluzione finale è

$x < - \frac{3}{2}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#prodotti #notevoli

Risolvi la seguente disequazione intera numerica:

$x\left(\frac{1}{4}x+1\right)+\frac{1}{3}x > - \frac{1}{4}(4x-3)(4x+3)-\frac{1}{4}(9-x^2)+4x\left(x+\frac{1}{3}\right)-1$

Soluzione

Moltiplico tutti i termini ricordando il prodotto notevole $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ che, applicato in questo caso è $(4x-3)(4x+3) = 16x^2-9$ :

$\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{1}{3}x > -\frac{1}{4}(16x^2-9)-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}x^2+4x^2+\frac{4}{3}x-1$

$\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{1}{3}x > -4x^2 + \frac{9}{4}-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}x^2+4x^2+\frac{4}{3}x-1$

Vedo subito che, a destra della disuguaglianza, $-4x^2$ si cancella con $+4x^2$ , così come $+\frac{9}{4}$ e $-\frac{9}{4}$ .

$\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{1}{3}x > \frac{1}{4}x^2+\frac{4}{3}x-1$

Porto tutti i termini con la $x$ a sinistra, tutti quelli senza la $x$ a destra, ricordando che quando sposto i termini da una parte all’altra di una disuguaglianza devo cambiare il segno:

$\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{1}{3}x -\frac{1}{4}x^2 -\frac{4}{3}x>-1$

Sommo i termini con lo stesso grado e vedo che il termini di secondo grado scompaiono:

$\frac{3x+x-4x}{3} > -1$

A sinistra ottengo $\frac{0}{3}$ ossia $0$ . La disuguaglianza diventa quindi

$0 > -1$

ATTENZIONE: il fatto che la $x$ sia scomparsa, non ci deve preoccupare. Risolvere la disuguaglianza di partenza equivale a risolvere $0>-1$ . Quindi, siamo arrivati a una disuguaglianza che, a parole, ci sta chiedendo quando $0$ è maggiore di $-1$ . E quand’è che $0$ è maggiore di $-1$ ? SEMPRE. Quando una disuguaglianza è sempre vera, indipendentemente da $x$ , significa che, qualsiasi valore di $x$ io metto dentro alla disuguaglianza di partenza, ottengo sempre $0>-1$ , che è sempre vera. Dal fatto che posso inserire qualsiasi valore di $x$ , ottengo che ogni $x$ mi va bene. In termini matematici, si dice che la disuguaglianza è risolta per ogni valore di $x$ . La soluzione è quindi

$\forall \; x \in \mathbb{R}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#prodotti #notevoli

Risolvi la seguente disequazione intera numerica:

$x(x-2)>(x-1)^2+2$

Soluzione

Moltiplico tutti i termini ricordando lo sviluppo di un quadrato $(A-B)^2 = A^2 + B^2 - 2AB$ :

$x^2 - 2x > x^2 + 1 - 2x + 2$

Porto tutti i termini con la $x$ a sinistra, tutti quelli senza la $x$ a destra, ricordando che quando sposto i termini da una parte all’altra di una disuguaglianza devo cambiare il segno:

$x^2-2x-x^2+2x > +1+2$

Sommo i termini con lo stesso grado e vedo che il termini di secondo grado scompaiono:

$-2x+2x > +3$

A sinistra ottengo $0$ . La disuguaglianza diventa quindi

$0 > +3$

ATTENZIONE: il fatto che la $x$ sia scomparsa, non ci deve preoccupare. Risolvere la disuguaglianza di partenza equivale a risolvere $0>+3$ . Quindi, siamo arrivati a una disuguaglianza che, a parole, ci sta chiedendo quando $0$ è maggiore di $+3$ . E quand’è che $0$ è maggiore di $+3$ ? MAI. Quando una disuguaglianza è sempre falsa, indipendentemente da $x$ , significa che, qualsiasi valore di $x$ io metto dentro alla disuguaglianza di partenza, ottengo sempre $0>+3$ , che non è mai vera. Dal fatto che inserendo qualsiasi valore di $x$ ottengo sempre una disuguaglianza falsa, significa che nessun valore di $x$ va bene. In termini matematici, si dice che non esiste un $x$ che mi risolve la disuguaglianza. La soluzione è quindi

$\nexists \; x \in \mathbb{R}$

Esercizio 4

Difficoltà:

#lap

Risolvi la seguente disequazione:

$(-x-3)\left(\frac{1}{2}x-1\right)<0$

Soluzione

Quando ho una moltiplicazione di fattori e devo studiare quando il prodotto fra questi fattori è maggiore o minore di zero, si procede studiando singolarmente il segno di ogni fattore presente nel prodotto. In questo caso i fattori sono due:

$\text{Fattore 1}: -x-3$

$\text{Fattore 2}: \frac{1}{2}x-1$

Come si procede in questo caso? Indipendentemente dalla disuguaglianza di partenza (in questo caso è $<$ , ma se avessi avuto $>$ avrei proceduto alla stessa maniera), si studia quando i singoli fattori sono positivi.

$\text{Fattore 1} > 0: \qquad -x-3 > 0 \rightarrow \qquad -x >+3 \rightarrow \qquad x < -3$

Nota: nell’ultimo passaggio ho moltiplicato destra e sinistra per $-1$ , numero negativo, quindi devo cambiare verso della disuguaglianza.

Ho quindi scoperto che il Fattore 1 è positivo quando $x < -3$ .

$\text{Fattore 2} > 0: \qquad \frac{1}{2}x-1 > 0 \rightarrow \qquad \frac{1}{2}x>1 \rightarrow \qquad x > +2$

Nota: nell’ultimo passaggio ho moltiplicato destra e sinistra per $+2$ , numero positivo, quindi non devo cambiare verso della disuguaglianza.

Ho quindi scoperto che il Fattore 2 è positivo quando $x>+2$ .

Il passo successivo consiste nel costruire quello che io chiamo "castello dei segni": prima lo scrivo e poi lo spiego.

$\begin{tikzpicture} \draw (-5,0) -- (4,0); \draw (-3,-0.2) -- (-3,3); \draw (2,-0.2) -- (2,3); \node at (-3,-0.5) {-3}; \node at (2,-0.5) {2}; \draw (-5,1) -- (4,1); \draw (-5,2) -- (4,2); \node at (-7,1.5) {Fattore 2:}; \node at (-7,0.5) {Prodotto:}; \node at (-7,2.5) {Fattore 1:}; \node at (-4,2.5) {$+$}; \node at (-0.5,2.5) {$-$}; \node at (3,2.5) {$-$}; \node at (-4,1.5) {$-$}; \node at (-0.5,1.5) {$-$}; \node at (3,1.5) {$+$}; \node at (-4,0.5) {$-$}; \node at (-0.5,0.5) {$+$}; \node at (3,0.5) {$-$}; \node at (-3,2.5) {o}; \node at (-3,0.5) {o}; \node at (2,1.5) {o}; \node at (2,0.5) {o}; \end{tikzpicture}$

Sostanzialmente si scrivono i numeri trovati ai passi precedenti e poi, in riga, si scrivono i risultati ottenuti: metto una $+$ nell’intervallo trovato e una $-$ nel resto. Per esempio, ho trovato che il Fattore 1 è positivo per $x<-3$ , quindi metto una $+$ negli $x$ minori di $-3$ e una $-$ per gli $x$ maggiori di $-3$ . Allo stesso modo, ho trovato che il Fattore 2 è positivo per $x>2$ , quindi metto una $+$ per gli $x$ maggiori di $2$ e una $-$ per gli $x$ minori di $2$ . I pallini vuoti nel grafico stanno a significare che gli estremi, ossia $-3$ e $+2$ sono esclusi. Nella terza riga, quella chiamata Prodotto, vado a moltiplicare i segni delle due righe che stanno sopra, riportando anche se gli estremi sono inclusi o esclusi. Ed è in quest’ultima riga che vado a leggere la soluzione dell’esercizio. L’esercizio mi chiedeva quando la moltiplicazione fra questi due fattori è negativa, ossia $<$ di zero. Il risultato sarà quindi dato da tutti gli intervalli in cui il prodotto ha il segno $-$ (ossia prodotto negativo, ossia prodotto minore di zero). Prendere tutti gli intervalli significa farne l’unione (in simboli $\cup$ o $\vee$ ). La soluzione è quindi

$x < -3 \qquad \vee \qquad x > 2$