A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulle derivate.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#chain #rule

Calcola la derivata della seguente funzione $y = x^3(4-x^2)^2$

Soluzione

Come prima cosa notiamo che la funzione è data dal prodotto di due funzioni: $x^3$ e $(4-x^2)^2$ . Ricordiamo la regola per la derivata di un prodotto

Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ , la derivata (che io indico con il simbolo $D$ oppure $'$ ) del prodotto è data da

$D(f(x)\cdot g(x)) = D(f(x))\cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x))$

Il primo step è quindi

$D(y) = y' = D(x^3)\cdot (4-x^2)^2 + x^3 \cdot D((4-x^2)^2)$

Calcolo singolarmente le derivate in questione.

La prima derivata da calcolare è $D(x^3)$ . Questa è una delle derivate "immediate" per cui esiste una formula diretta per calcolarle. Ricordiamo qual è.

La derivata di $x^n$ con $n \in \mathbb{R}$ è

$D(x^n) = n \cdot x^{n-1}$

Nel nostro caso $n=3$ , quindi

$D(x^3) = 3x^2$

La seconda derivata da calcolare è $D((4-x^2)^2)$ . Questa è una derivata composta: la funzione più "esterna" è l’elevamento al quadrato, mentre quella più interna è $4-x^2$ . Ricordiamo anche qui la formula.

La derivata della composizione di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ è data da

$D(f(g(x))) = f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x)$

Nel nostro caso $f(x) = x^2$ mentre $g(x) = 4-x^2$ . Infatti, con queste definizioni, la composizione è

$f(g(x)) = (4-x^2)^2$

MEMO: Ricordiamo un attimo come funziona la composizione di funzioni. $f(g(x))$ significa che devo calcolare $f$ non in $x$ ma in $g(x)$ , ossia al posto della $x$ nella definizione di $f$ devo sostituire la definizione di $g(x)$ . Nell’esempio precedente $f(x) = x^2$ significa che $f$ calcolata in $x$ è uguale a $x$ al quadrato. Se al posto di $x$ metto $g(x)$ risulta: $f$ calcolata in $g(x)$ è uguale a $g(x)$ al quadrato, ossia $f(g(x)) = (g(x))^2$ . Se $g(x) = 4-x^2$ , avrò quindi

$f(g(x)) = (4-x^2)^2$

Per applicare la formula della derivata composta dobbiamo quindi calcolare la derivata di $f$ (e poi calcolarla in $g(x)$ ) e la derivata di $g$ .

Dato che $f(x) = x^2$ , la derivata è come la prima che abbiamo calcolato:

$D(f(x)) = f^{'}(x) = D(x^2) = 2x$

Calcoliamola subito in $g(x)$ :

$f^{'}(g(x)) = 2(g(x)) = 2(4-x^2)$

Per la derivata di $g$ invece dobbiamo usare la formula per la somma/differenza di funzioni, dato che $g$ è definita come la differenza fra $4$ e $x^2$ .

La derivata di una somma/differenza è la somma/differenza delle derivate.

$D(A(x)\pm B(x)) = D(A(x)) \pm D(B(x))$

Nel nostro caso,

$D(g(x)) = D(4-x^2 ) = D(4) - D(x^2)$

Ricordandosi che la derivata delle costanti è sempre zero, si ha

$D(4) - D(x^2) = 0 - 2x = -2x$

La derivata composta è quindi

$D(f(g(x))) = 2(4-x^2)\cdot(-2x)$

Ora basta solo mettere di nuovo assieme tutti i pezzi:

$\begin{align*} D(y) & = y' \\ & = D(x^3)\cdot (4-x^2)^2 + x^3 \cdot D((4-x^2)^2) \\ & = 3x^2 \cdot (4-x^2)^2 + x^3 \cdot 2(4-x^2)(-2x) \\ & = 3x^2(4-x^2)^2 - 4x^4(4-x^2) \end{align*}$

Ufficialmente la derivata è finita qui. Ora si tratta solo di rendere un po’ più ordinata quell’espressione. Raccogliamo a fattor comune $x^2(4-x^2)$ e otteniamo

$\begin{align*} y^{'} & = x^2(4-x^2) \cdot (3(4-x^2)-4x^2) \\ & = x^2(4-x^2) \cdot (12-3x^2-4x^2) \\ & = x^2(4-x^2)(12-7x^2) \end{align*}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#definizione #derivata

Calcola la derivata della seguente funzione nel punto $c$ indicato a fianco, applicando la definizione di derivata

$f(x) = \frac{x^2-1}{2-x} \qquad c = 1$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la definizione di derivata. Data una funzione $y = f(x)$ si chiama derivata della funzione $f$ nel punto $c$ il limite, se esiste ed è finito, per $h$ che tende a zero, del rapporto incrementale relativo a $c$ : si indica con $f^{'}(c)$ e vale

$f^{'}(c) = \lim_{h \rightarrow 0} \underbrace{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}}_{\text{rapporto incrementale}}$

Applicando questa definizione al nostro caso, otteniamo che la derivata di $f$ in $c=1$ è

$\begin{align*} f^{'}(1) & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \end{align*}$

Calcoliamo separatamente $f(1+h)$ e $f(1)$ .

$\begin{align*} f(1) & = \frac{(1)^2-1}{2-(1)} \\ & = \frac{1-1}{1} = 0 \\ f(1+h) & = \frac{(1+h)^2-1}{2-(1+h)} \\ & = \frac{1+h^2+2h-1}{2-1-h} \\ & = \frac{h^2+2h}{1-h} \end{align*}$

Quindi

$\begin{align*} f^{'}(1) & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{h^2+2h}{1-h}-0}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\frac{h^2+2h}{1-h}}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2+2h}{1-h} \cdot \frac{1}{h} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h^2+2h}{h(1-h)} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h(h+2)}{h(1-h)} \\ & = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{h+2}{1-h} \\ & = 2 \end{align*}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#rolle

Data la seguente funzione, verifica se nell’intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Rolle e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema:

$f(x) = 4x^2-2x \qquad [-1,3]$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo l’enunciato del teorema di Rolle:

Data una funzione $f(x)$ definita in un intervallo limitato e chiuso $[a,b]$ con le seguenti proprietà:

$f(x)$ è continua in $[a,b]$ ,

$f(x)$ è derivabile in $(a,b)$ ,

$f(a) = f(b)$ ,

allora esiste almeno un punto $c$ , interno all’intervallo, per il quale risulta $f^{'}(c) = 0$ .

Per capire se questo teorema è applicabile nel nostro caso, dobbiamo andare a vedere se le tre ipotesi sono vere per la $f(x)$ che abbiamo.

Prima cosa da verificare: $f(x)$ continua in $[-1,3]$

Dato che $f(x)$ è una funzione polinomiale ( di fatto è una parabola essendo un polinomio di secondo grado), essa è continua su tutto $\mathbb{R}$ . In particolare, quindi, è continua in $[-1,3]$ .

Seconda cosa da verificare: $f(x)$ derivabile in $[-1,3]$

Per lo stesso motivo del punto precedente, dato che $f(x)$ è una funzione polinomiale, essa è derivabile in tutta $\mathbb{R}$ . In particolare, è derivabile in $(-1,3)$ .

MEMO: In generale una funzione polinomiale è una funzione del tipo

$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0$

dove $a_0,\dots, a_n$ sono numeri reali. Fra le varie proprietà delle funzioni polinomiali, c’è in particolare il fatto che una funzione polinomiale è continua su tutto $\mathbb{R}$ e derivabile su tutto $\mathbb{R}$ .

Terza cosa da verificare: $f(-1) = f(3)$

Calcoliamo le due quantità separatamente:

$\begin{align*} f(-1) & = 4\cdot (-1)^2-2\cdot(-1) \\ & = 4\cdot (1)+2 \\ & = 6 \\ f(3) & = 4\cdot (3)^2-2\cdot (3) \\ & = 4\cdot (9)-6 \\ & = 30 \end{align*}$

Vediamo quindi che $f(-1)$ non è uguale a $f(3)$ : $f(-1) \neq f(3)$ .

Venendo meno questa ipotesi del teorema, esso non è applicabile. Ricordo infatti che per poter applicare un teorema devono essere valide TUTTE le ipotesi.

Esercizio 4

Difficoltà:

#lagrange

Data la seguente funzione, verifica se nell’intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Lagrange e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema:

$f(x) = |x^2-1| \qquad [2,3]$

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo l’enunciato del teorema di Lagrange:

Se una funzione $f(x)$ è:

continua in un intervallo limitato e chiuso $[a,b]$ ,

derivabile in ogni punto interno a esso,

allora esiste almeno un punto $c$ , interno all’intervallo, per cui vale la relazione

$f^{'}(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Per capire se questo teorema è applicabile nel nostro caso, dobbiamo andare a vedere se le due ipotesi sono vere per la $f(x)$ che abbiamo.

Prima cosa da verificare: $f(x)$ continua in $[2,3]$

Ricordiamo che il valore assoluto è una funzione continua: se l’argomento del valore assoluto è continuo, allora lo è anche il valore assoluto. Tradotto nel nostro caso: se $x^2-1$ è una funzione continua, allora anche $|x^2-1|$ è una funzione continua. La funzione $x^2-1$ è una funzione polinomiale (in particolare è una parabola essendo di secondo grado), quindi è continua su tutto $\mathbb{R}$ . Essendo continua su tutto $\mathbb{R}$ , in particolare lo è su $[2,3]$ . Quindi anche $|x^2-1|$ è continua su $[2,3]$ e la prima ipotesi è verificata.

Seconda cosa da verificare: $f(x)$ derivabile in $(2,3)$

Ricordiamo che il valore assoluto non è derivabile solo nei punti in cui il suo argomento si annulla. Nel nostro caso quindi, la funzione non è derivabile nei punti $x$ tali che

$x^2-1 = 0$

Risolvendo quest’equazione abbiamo

$\begin{align*} x^2-1 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{align*}$

La funzione quindi non è derivabile in $x=-1$ e $x=1$ . Lo è in tutti gli altri punti.

A noi interessa che sia derivabile nell’intervallo $(2,3)$ : poichè in questo intervallo non è compreso nè $x=-1$ nè $x=1$ , la funzione in questo intervallo è derivabile. Quindi, è soddisfatta anche la seconda ipotesi del teorema.

Posso quindi applicare il teorema: esso mi dice che esiste un punto $c$ tale che

$f^{'}(c) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2}$

A destra dell’uguaglianza ottengo:

$\begin{align*} f(2) & = |(2)^2-1| \\ & = |4-1| \\ & = |3| \\ & = 3 \\ f(3) & = |(3)^2-1| \\ & = |9-1| \\ & = |8| \\ & = 8 \end{align*}$

Quindi

$\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{8-3}{1} = 5$

A sinistra dell’uguale invece, prima di calcolare la derivata noto che, usando la definizione di valore assoluto ho

$\begin{align*} f(x) = |x^2-1| & = \begin{cases} x^2-1 & \text{se} \; x^2-1 \geq 0 \\ -x^2+1 & \text{se} \; x^2-1 < 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} x^2-1 & \text{se} \; x \leq -1 \cup x \geq 1\\ -x^2+1 & \text{se} \; -1 < x < 1 \end{cases} \\ \end{align*}$

Poichè stiamo considerando l’intervallo $[2,3]$ , siamo nel primo caso della funzione (ossia negli $x \geq 1$ ), ossia $f(x) = x^2-1$ . Quello che voglio dire è che, nell’intervallo $[2,3]$ la funzione è $f(x) = x^2-1$ . Dobbiamo quindi calcolare la derivata di questa funzione.

$f^{'}(x) = D(x^2-1) = 2x$

Quindi, la derivata calcolata in $x=c$ è

$f^{'}(c) = 2c$

Mettendo insieme tutti i pezzi, ho quindi che

$\begin{align*} f^{'}(c) & = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} \\ 2c & = 5 \\ \frac{2c}{2} & = \frac{5}{2} \\ c & = \frac{5}{2} \end{align*}$

Il punto $c$ che il teorema mi assicura esistere è quindi

$c = \frac{5}{2}$