In questa sezione trovi esercizi svolti sul calcolo combinatorio.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
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Esercizio 1

Difficoltà:
#gettoni #rossi #gialli

Determina in quanti modi possono disporsi in fila tre gettoni rossi e quattro gialli se il primo gettone deve essere giallo.

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la differenza fra disposizioni, permutazioni e combinazioni.

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k\leq n) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi, presi fra gli n, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per il loro ordine.

Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per il loro ordine.

Le combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k \leq n) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi, presi fra gli n, e tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per almeno un elemento contenuto.

Nel nostro caso ci stanno sostanzialmente chiedendo come si possono mettere in fila 7 gettoni. Siamo quindi nel caso delle permutazioni.

Essendo però i 7 gettoni divisi in 3 rossi e 4 gialli, siamo nello specifico nel caso di permutazioni con ripetizione. La regola ci dice che le permutazioni di n elementi di cui h,k ripetuti sono

P_n^{(h,k)} = \frac{n!}{h!\cdot k!}

dove con "!" indico il simbolo del fattoriale.

Poichè ci dicono che il primo gettone deve essere fissato giallo, nel nostro caso n = 6 (7 meno quello fissato), h = 3 (gettoni rossi) e k = 3 (gettoni gialli, 4 meno uno fissato). Quindi i gettoni possono disporsi in fila in

\begin{align*} P_6^{(3,3)} & = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \frac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 3 \cdot 2} \\ & = \frac{6\cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \\ & = 2 \cdot 5 \cdot 2 \\ & = 20 \end{align*}

modi.

Esercizio 2

Difficoltà:
#tavolette #cioccolato

Determina in quanti modi diversi possiamo distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini.

Soluzione

Come prima cosa ricordiamo la differenza fra disposizioni, permutazioni e combinazioni.

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k\leq n) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi, presi fra gli n, tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per gli elementi contenuti o per il loro ordine.

Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono per il loro ordine.

Le combinazioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k \leq n) sono tutti i possibili gruppi che si possono formare con k elementi, presi fra gli n, e tali che ogni gruppo è diverso dagli altri per almeno un elemento contenuto.

Nel nostro caso abbiamo n=5 bambini e k=8 tavolette. Visto che l’ordine con cui i bambini si presentano non è importante, siamo nell’ambito delle combinazioni, e non disposizioni (dove invece l’ordine è importante). Tradotto: non importa se prima do una tavoletta al bambino numero 2 e poi una tavoletta al bambino numero 4, ma è importante quante ne ho date a testa. In particolare, abbiamo combinazioni con ripetizione che, ricordiamo, si calcolano come

\begin{align*} C_{n,k}^{'} & = \binom{n+k-1}{k} \\ & = \frac{(n+k-1)\cdot (n+k-2) \cdot \dots \cdot (n+1) \cdot n}{k!} \end{align*}

Nel nostro caso quindi

\begin{align*} C_{5,8}^{'} & = \binom{12}{8} \\ & = \frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5}{8!} \\ & = \frac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 5}{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \\ & = 11\cdot 5 \cdot 9 \\ & = 495 \end{align*}

Possiamo quindi distribuire otto tavolette di cioccolato a cinque bambini in 495 modi diversi.