A new MATE

In questa sezione trovi esercizi svolti sulla circonferenza.
Il sito è ancora in costruzione, quindi se gli esercizi non ci sono e/o sono pochi abbi un po' di pazienza.
Cerco di scriverne il più possibile! Se hai esercizi da proporre, non farti problemi a mandarmeli su Instagram , Facebook o per mail .

Esercizio 1

Difficoltà:

#rette #tangenti #punto #esterno

Scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione $x^2+y^2-2x-3 = 0$ condotte dal punto $P(-1;3)$ .

Soluzione

Come prima cosa disegniamo la circonferenza e il punto, giusto per visualizzare gli elementi del problema.

Ricordiamo le formule per trovare il centro e il raggio.

Data l’equazione $x^2+y^2+ax+by+c=0$ , il centro $C(x_C,y_C)$ ha coordinate

$x_C = -\frac{a}{2}, \qquad y_C = - \frac{b}{2}$

mentre il raggio è

$r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 -c}$

Nel nostro caso l’equazione è $x^2+y^2-2x-3=0$ , quindi abbiamo $a=-2,b=0,c=-3$ . Il centro ha quindi coordinate $C(1,0)$ e raggio $r=\sqrt{1+3} = 2$ .

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-2,0) -- (4,0); \draw[->] (0,-3) -- (0,4); \draw (1,0) circle (2cm); \draw[fill=black] (-1,3) circle (0.05cm); \draw[fill=black] (1,0) circle (0.05cm); \node at (1,0.5) {C}; \node at (-1,3.5) {P}; \end{tikzpicture}$

Nota: già graficamente possiamo vedere che una tangente sarà la retta $x=-1$ , ma troviamola seguendo il procedimento standard.

Per trovare le tangenti utilizziamo quello che solitamente si chiama Metodo 2, ossia imponiamo che la distanza fra il centro e le rette passanti per $P$ sia uguale al raggio.

Il fascio di rette passante per $P$ è dato da: $y-y_P = m(x-x_P)$ , ossia nel nostro caso $y-3 = m(x+1)$ .

Memo: i fasci di rette NON includono le rette verticali, ossia quelle parallele all’asse $y$ .

Memo: dato un punto $P(x_P;y_P)$ e una retta $ax+by+c = 0$ , la distanza del punto dalla retta è definita come

$d = \frac{|a\cdot x_P + b \cdot y_P + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Riscrivo quindi il fascio di rette come $mx-y+m+3 = 0$ e pongo la distanza fra questo e il centro $C(1,0)$ uguale a $2$ (il raggio):

$2 = \frac{|m\cdot 1 -1 \cdot 0 + m+3|}{\sqrt{m^2+1}}$

Moltiplico destra e sinistra per la radice e ottengo

$2\sqrt{m^2+1} = |2m+3|$

Elevo al quadrato sia a destra che a sinistra e ottengo

$4(m^2+1) = 4m^2+9+12m$

Moltiplico a sinistra, porto tutti i termini in $m$ a sinistra e tutti quelli senza a destra

$4m^2 - 4m^2 - 12m = +9-4$

$-12m = +5$

Divido destra e sinistra per $-12$ in modo da isolare la $m$ :

$m = -\frac{5}{12}$

Otteniamo un solo valore di $m$ a cui corrisponde la retta di equazione

$y-3 = -\frac{5}{12}(x+1)$

$y = -\frac{5}{12}x -\frac{5}{12}+3$

$y = -\frac{5}{12}x +\frac{31}{12}$

Il punto $P$ è esterno alla circonferenza, quindi le tangenti devono essere due. Avendo determinato, mediante l’equazione del fascio, una sola retta, l’altra tangente deve essere parallela all’asse $y$ . Poichè $P$ ha ascissa $-1$ , l’altra tangente ha equazione

$x=-1$

$\begin{tikzpicture} \draw[->] (-2,0) -- (4,0); \draw[->] (0,-2.5) -- (0,4); \draw (1,0) circle (2cm); \draw[fill=black] (-1,3) circle (0.05cm); \draw[fill=black] (1,0) circle (0.05cm); \node at (1,0.5) {C}; \node at (-1,3.5) {P}; \draw[red] (-1,3) -- (-1,-2.5); \draw[red] (-1,3) -- (4,11/12); \node[red] at (-1,-3) {$x=-1$}; \node[red] at (4.5,0.5) {$y = -\frac{5}{12}x +\frac{31}{12}$}; \end{tikzpicture}$

Esercizio 2

Difficoltà:

#equazione #circonferenza

Scrivi il luogo geometrico dei punti del piano che hanno distanza $\sqrt{5}$ dal punto .

Soluzione

Il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dal punto è una circonferenza per definizione: il testo ci sta quindi chiedendo di trovare la circonferenza che ha centro nel punto e raggio $\sqrt{5}$ .

Memo: l’equazione di una circonferenza noti il centro di coordinate e il raggio di lunghezza è data dalla formula

Nel nostro caso, $x_C = -3, y_C = 1, r = \sqrt{5}$ .

L’equazione è quindi

$\begin{align*} (x-x_C)^2+(y-y_C)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2+(y-(1))^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x+3)^2 +(y-1)^2 & = 5 \\ x^2+6x+9+y^2-2y+1 & = 5 \\ x^2+y^2+6x-2y+9+1-5 & = 0 \\ x^2+y^2+6x-2y+5 & = 0 \end{align*}$

Esercizio 3

Difficoltà:

#equazione #circonferenza

Trova l’equazione della circonferenza di raggio $2\sqrt{3}$ avente il centro nel punto in cui la retta di equazione interseca la bisettrice del I quadrante.

Soluzione

Come prima cosa troviamo il punto di intersezione fra la retta data e la bisettrice del primo quadrante.

Memo: l’equazione della bisettrice del I quadrante è .

$\begin{align*} \begin{cases} y = x \\ 2x+3y = 5 \end{cases} \end{align*}$

Sostituendo nella seconda equazione otteniamo

$\begin{align*} 2x+3x & = 5 \\ 5x & = 5 \\ \frac{5x}{5} & = \frac{5}{5} \\ x & = 1 \end{align*}$

Dal momento che e , il punto di intersezione è , che deve essere il centro della circonferenza che stiamo cercando.

Memo: l’equazione di una circonferenza noti il centro di coordinate e il raggio di lunghezza è data dalla formula

Nel nostro caso, $x_C = 1, y_C = 1, r = 2\sqrt{3}$ .

L’equazione è quindi

$\begin{align*} (x-x_C)^2+(y-y_C)^2 & = r^2 \\ (x-(1))^2+(y-(1))^2 & = (2\sqrt{3})^2 \\ (x-1)^2 +(y-1)^2 & = 4\cdot 3 \\ x^2-2x+1+y^2-2y+1 & = 12 \\ x^2+y^2-2x-2y+1+1-12 & = 0 \\ x^2+y^2-2x-2y-10 & = 0 \end{align*}$

Esercizio 4

Difficoltà:

#equazione #grafico

Indica se l’equazione corrisponde a una circonferenza e, in caso affermativo, rappresentala graficamente dopo aver determinato le coordinate del centro e il raggio.

5x^2+5y^2-x-2y+2=0

Soluzione

Come prima cosa dobbiamo riportarci nella forma "classica" del tipo

ossia, nel nostro caso, dobbiamo dividere tutto per 5. L’equazione diventa quindi

$x^2+y^2-\frac{1}{5}x-\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=0$

Per poter avere una circonferenza, dobbiamo andare a vedere sostanzialmente due cose:

i coefficienti di e sono uguali

è verificata la condizione di realtà del raggio, ossia

$\left(-\frac{a}{2}\right)^2+\left(-\frac{b}{2}\right)^2-c \geq 0$

Nel nostro caso la condizione 1. è soddisfatta perchè sia che hanno coefficiente . Dobbiamo quindi verificare la condizione 2.

Nel nostro caso, $a = -\frac{1}{5}, b = -\frac{2}{5}, c = \frac{2}{5}$ . Quindi

$\begin{align*} \left(-\frac{a}{2}\right)^2+\left(-\frac{b}{2}\right)^2-c & \geq 0 \\ \left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(\frac{2}{10}\right)^2-\frac{2}{5} & \geq 0 \\ \frac{1}{100}+\frac{4}{100}-\frac{2}{5} & \geq 0 \\ \frac{1+4-40}{100} & \geq 0 \\ -\frac{35}{100} & \geq 0 \end{align*}$

La condizione non è verificata dal momento che $-\frac{35}{100}$ NON è maggiore di zero, quindi l’equazione non rappresenta una circonferenza.

Esercizio 5

Difficoltà:

#retta #circonferenza

Determina la lunghezza della corda che la circonferenza di equazione stacca sulla retta di equazione .

Soluzione

Dal testo possiamo già intuire che la circonferenza e la retta sono secanti e si intersecano in due punti che saranno gli estremi della corda di cui dobbiamo calcolare la lunghezza. Partiamo quindi calcolando le coordinate dei due punti di intersezione mettendo a sistema l’equazione della circonferenza con quella della retta:

$\begin{align*} & \begin{cases} x^2+y^2-12x+2y-37 = 0 \\ y = 2x+4 \end{cases} \\ & \begin{cases} x^2+(2x+4)^2-12x+2(2x+4)-37 = 0 \\ y = 2x+4 \end{cases} \end{align*}$

dove nel secondo sistema ho sostituito la nella prima equazione. Lavoro quindi solo con la prima equazione in :

$\begin{align*} x^2+(2x+4)^2-12x+2(2x+4)-37 & = 0 \\ x^2+4x^2+16x+16-12x+4x+8-37 & = 0 \\ 5x^2 +8x -13 & = 0 \\ x_{1/2} & = \frac{-8\pm \sqrt{64+260}}{10} \\ & = \frac{-8\pm 18}{10} \end{align*}$

Abbiamo quindi e $x_2 = -\frac{13}{5}$ . Per trovare le corrispettive uso la seconda equazione :

$\begin{align*} & \begin{cases} x = 1\\ y = 2x+4 = 2(1)+4 = 6 \end{cases} \\ & \begin{cases} x = -\frac{13}{5} \\ y = 2x+4 = 2\left(-\frac{13}{5}\right)+4 = \frac{-26+20}{5} = -\frac{6}{5} \end{cases} \end{align*}$

I due punti di intersezione sono quindi e $B\left(-\frac{13}{5};-\frac{6}{5}\right)$ . Per calcolare quanto è lunga la corda, basta quindi calcolare la distanza fra questi due punti:

$\begin{align*} AB & = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \\ & = \sqrt{\left(-\frac{13}{5}-1\right)^2+\left(-\frac{6}{5}-6\right)^2} \\ & = \sqrt{\left(\frac{-13-5}{5}\right)^2+ \left(\frac{-6-30}{5}\right)^2} \\ & = \sqrt{\frac{324}{25} + \frac{1296}{25}} \\ & = \sqrt{\frac{1620}{25}} \\ & = \frac{\sqrt{18^2 \cdot 5}}{\sqrt{5^2}} \\ & = \frac{18\sqrt{5}}{5} \end{align*}$